Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
В калибровке Лоренца (4.38) и при 7 = 0
(4-46)
Выражение (4.45) для фона Минковского переходит в эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн (2.89) линеаризированной теории.
Можно сказать, что гравитационные волны в ОТО переносят энергию, которая сама является источником гравитационного по-;ля. Но эта энергия не имеет никакого смысла в областях с размером X или меньше (невозможность локализации энергии в ОТО).
В учебнике [1] доказывается, что к выражению (4.46) в коротковолновой аппроксимации ведет также усреднение комплекса энергии-импульса Ландау—Лифшица (см. также [2]). В нашей работе [10] показано, что /(rBVv можно также получить усреднением других выражений для энергии и импульса гравитационного поля, например комплекса энергии-импульса Эйнштейна •или симметрического тензора возмущений, который выводится
121 (O)
варьированием по g^v лагранжиана, из которого вытекают уравнения поля для возмущений (4.39).
б. Гравитационные волны и возмущения релятивистских объектов
С начала 70-х годов, когда стало очевидным, что во многих астрономических явлениях (рентгеновские источники, квазары, ядра галактик) играют, вероятно, существенную роль вполне релятивистские объекты (нейтронные звезды, черные дыры), выполнено огромное число работ, в которых исследовалось излучение гравитационных волн в процессах, происходящих в окрестности этих объектов (падение частиц в черную дыру, движение частиц на круговых орбитах вокруг черных дыр) или в процессах с самими объектами (нерадиальные осцилляции нейтронных звезд, несферический гравитационный коллапс). Основные свойства нейтронных звезд и черных дыр изложены, например, в [84, 2]. Детальный анализ теории черных дыр и гравитационного излучения, которое может возникать в их окрестностях, содержится в монографиях Чандрасекара [85], Новикова и Фролова [86], Гальцова [87], в сборниках [88, 89] и обзоре Торна [64]. Здесь мы кратко опишем основные черты проблематики. В следующей главе приведем некоторые результаты расчетов для конкретных процессов.
Если возмущению подвергнуто известное решение уравнений (0> (0) Эйнштейна ^jav с источником Tixvy так что метрика возмущенно-
(0)
го пространства-времени будет ^Vtv = +Itiiv, а источником (0)
T JiV = ^Vv + ?^nv» тогда из уравнений Эйнштейна Ga^(g) =
1 (0)
= 8яГар, YlAv =fl\xv--— g»vh получим уравнения
(0) (0) (0) (0) Yl^p-Ypigv-'Yp^V + M^a + 2/?PfXavYpG-#P^-#PvY? =
= — IGnbTfkvi (4.47)
в которых поднятие и опускание индексов вместе с ковариантным
(0)
дифференцированием выполняется с помощью ^iav. Уравнения (0)
(4.47) для Rpv = O = STliv переходит в калибровке Лоренца в (4.39). Если расписать (4.47) по компонентам, то получим сложную систему связанных дифференциальных уравнений. В случае,, когда фон представляет собой метрику невращающейся черной дыры (сферически симметричная метрика Шварцшильда или Рейснера—Нордстрэма, если дыра несет ненулевой электрический заряд), тогда всю систему связанных уравнений (4.47) удается удивительно упростить (более детальный обзор см. в [64]). Возможно выделение (факторизация) угловой зависимости от G и ф с помощью разложения в тензорные сферические гармоники,, которые характеризуются, как обычные скалярные гармоники,
122 числами /, т и, кроме того, четностью я. Для радиальных частей возмущений можно найти определенные их линейные комбинации 4P, которые удовлетворяют уже не связанным уравнениям. Каждое из таких уравнений имеет форму одномерного волнового уравнения с эффективным потенциалом V:
, Wtm -V1 (г*) Vlm = Tlm, (4.48)
dt2 дг*2
здесь г* — радиальная координата, связанная со стандартной радиальной координатой метрики Шварцшильда соотношением •dr/dr*= 1—2M/r* (M — масса дыры), t — шварцшильдовское время (совпадающее вдали от дыры с собственным временем наблюдателя, покоящегося по отношению к дыре), Tim — комбинация компонент STiiv (после отделения угловых частей). Эффективный потенциал V/(r*) в самом простом случае возмущения метрики Шварцшильда с нечетной четностью (я=—1)
Важно, что по известной функции W можно рассчитать все возмущения Ztlxv.
Первые работы в задаче возмущений использовали специальные системы координат (специальные калибровки), но не было ясности, в какой мере результаты зависят от выбора этих координат. Сегодня уже известно, особенно благодаря работам Монк-рифа [90], что и в произвольной калибровке можно найти калиб-ровочно-инвариантные xF, которые удовлетворяют уравнениям типа (4.48). xF представляют реальные динамические переменные, описывающие гравитационные возмущения. Уравнения типа (4.48), хотя с гораздо более сложным потенциалом, можно получить и для возмущений черной дыры Рейсснера — Нордстрэма. В случае вращающейся черной дыры Keppa ситуация более сложна, однако с помощью формализма Ньюмэна—Пенроуза в [39] были выведены уравнения, подобные (4.48). Исчерпывающий анализ этих технически сложных методов описан в монографии Чандрасекара [85] (в нашей работе {91] детально разбирается связь между методами, зависящими от координат, методом Монк-рифа, исходящим из формализма Гамильтона, и формализмом Ньюмэна—Пенроуза для невращающихся черных дыр).
