Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 4
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Проблема движения изолированных (островных) источников и отыскания их гравитационного поля принадлежит к одним из самых сложных в ОТО из-за структуры нелинейных уравнений Эйнштейна. В гл. 2 мы видели, что линеаризированная теория не может непротиворечиво описывать движение источников под влиянием только гравитационного взаимодействия, т. е. невозможно решение самосогласованной задачи. Существует огромное число работ, в которых предлагаются различные схемы приближений, выходящих за рамки линеаризированной теории. Результаты этих работ, особенно ранних, часто противоречивы. Некоторые авторы даже предсказывали, например, что компоненты двойной системы будут взаимно удаляться вследствие эмиссии гравитационных волн, под влиянием некой «антитормозной» силы гравитационного излучения [61]. Многие из предложенных приближенных схем содержат в некотором порядке расходящиеся выражения. В последние годы, однако, были развиты методы, у которых дефекты такого рода отсутствуют и которые правильно предсказывают
106 наблюдаемое изменение орбиты двойного пульсара [17]. Однако» ни один из этих методов не лишен недостатков. В частности, невозможно дать достоверной оценки ошибок, возникающих из-за того, что приближенные методы ограничиваются несколько первыми порядками используемых разложений. В этой главе кратко обсуждаются все главные приближенные методы; интересующихся более детальной информацией отсылаем к обзорам [36, 46, 62—64].
Мы рассмотрим последовательно: а) приближенные методы для слабого поля (которые в свою очередь разделяются по скорости источников); б) методы, подходящие для сильного поля медленно движущихся источников; и, наконец, в) методы, привлекаемые для изучения возмущений некоторого известного стационарного фона, являющегося точным решением уравнений Эйнштейна. В последнем случае мы кратко опишем распространение гравитационных волн высокой частоты на искривленном фоне и: укажем определение тензора энергии-импульса этих волн.
§ 4.1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СЛАБЫХ ПОЛЕЙ
Будем исходить из уравнений Эйнштейна (1.70), записанных с помощью комплекса энергии-импульса Ландау — Лифшица, Пользуясь (1.114), (1.115) и подставляя T^ и ^v вместо Gtiv из (1.70), перепишем (1.112) в форме
(?^?3а). ра= l6n(-g)(T™ + n (4.1)
где ^v = Y— ё ё^ и ^v— комплекс Ландау — Лифшица (1.116),
который является квадратичной формой по ^apf7, так что вторые* производные метрики присутствуют только в левой части (4.1), Закон сохранения (1.110) вытекает из (4.1), так что
^v= 0, (4.2)
где
U^ = (-ё)(Т^ +Г). (4.2а)
Если (4.1) не выполняется, тогда из (4.2) вообще не вытекает локальный закон сохранения Tiavjt = O для величин, характеризующих источник.
Предположим, что во всем пространстве-времени можно глобально ввести так называемые гармонические координаты лгц, для которых
? = ?Г1/2?!?= 0, (4.3)
где[Ц5 = (—?)~1/2 — волновой оператор для ска-
ляров в искривленном пространстве-времени (см. (1.27)) (в какой мере предположение о глобальном введении гармонических коор-
107 динат является ограничением, до сих пор не ясно). Уравнения поля (4.1) тогда являются явно гиперболическими:
(- g)W2 Dsittv = 16я [2^ + ЙГЙП. (4.4)
Если теперь ввести в координатах х? плоскую (вспомогательную) метрику т]цу и девиации Yv
YHV=Y1HV_^ (45)
условие гармоничности (4.3) можно переписать формально как калибровочное условие Лоренца в линеаризированной теории
VAv = 0. (4.6)
Уравнения поля (4.1) переходят в
? Vw = - ^tZiv + 2 (Y^1YlaXpa, (4.7)
где ? =Tiliv^dv— волновой оператор в метрике Минковского. Уравнения (4.7) совместно с условиями (4.6) все еще представляют собой точные уравнения поля; но их форма уже удобна для приближенных решений. Если предположить, что поле слабое, т. е. Ytiv и их производные малы, то (4.7) можно решить итерационным способом, поскольку все нелинейные члены находятся в его правой части. Более того, в отличие от (4.4) обыкновенный оператор Даламбера слева в (4.7) дает возможность искать решения с помощью стандартных приемов, например с помощью известных функций Грина. Для этого надо сформулировать подходящие краевые условия. По аналогии с электродинамикой обычно требуют, чтобы в предельном переходе в прошлое вдоль всех световых конусов (т. е. вдоль всех прошедших световых конусов) на бесконечности соблюдались условия
Yjiv = O(I),
дг dt
Y^v =O (г-1), (4.8)
которые в электродинамике впервые сформулировал Зоммерфельд, а для ОТО — В. А. Фок [65] и которые призваны гарантировать отсутствие излучения, приходящего из бесконечности. Уже здесь, однако, возникает принципиальная проблема: предел берется вдоль световых конусов плоской метрики, между тем как пространство-время в общем случае должно быть искривленным и его истинные световые конусы (в метрике gyn) существенно отличаются от конусов плоской метрики (например, в метрике ІІІварц-шильда «прошлые» световые конусы вообще не уходят на световую бесконечность в прошлом; см. § 3.3). Условия отсутствия входящего излучения должно было бы быть сформулировано вдоль световых конусов реального пространства-времени. По этой причине условие (4.8), которым обыкновенно пользуются, следует считать лишь правдоподобной гипотезой, и не известно, действительно ли оно гарантирует отсутствие входящего излучения.
