Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
4. Для этого чтобы в заданном порядке соблюдались уравнения Эйнштейна, нужно еще решить уравнения движения (4.2) при условии гармоничности (4.6). Так вводится ограничение на до сих пор произвольные мировые линии тел и получаются уравнения движения третьего порядка для каждого тела:
з
где G — гравитационная постоянная, W — запаздывающие функционалы обеих мировых линий. Вплоть до этого момента весь метод остается пуанкаре-инвариантным. Решение уравнений (4.28), однако, очень сложно.
5. По этой причине предполагается, что тела движутся медленно, и проводится разложение величин, входящих в (4.28), до порядка G-5. При этом получим уравнения движения, в которых все величины берутся в один и тот же момент »времени.
Уравнения движения имеют вид
=4 (Z-Zf) + -L Ai (Z-Zfi Vy vf) + -La\ (Z-Zfr Vr Vf) +
dt2 с2 с4
+ -і- Ai (Z-Z', V, V') + 0(с~% (4.29)
c5
Первый член с Aoi= -GmfR-3Izi(t)—?'{t)] представляет обыкновенное ньютоновское ускорение, все остальные члены являются релятивистскими поправками. Последний член отвечает за секу-лярные изменения орбит .вследствие тормозной силы гравитационного излучения (силы радиационного трения). Только этот член
116 ведет к потере энергии и момента количества движения системы. Можно показать, что вплоть до порядка с~4 существуют интегралы движения, которые соответствуют энергии, количеству движения, моменту количества движения и равномерному движению центра масс; обозначим их Е{4), Р[-4), JrS?. Предположим, что находимся в системе координат, в которой центр масс покоится. Если затем аналогичным образом ввести те же величины вплоть до 5-го порядка, ~ с~5, т. е. включая члены Е(Б\ Pfy Jто обнаружится, что они уже не сохраняются из-за члена в (4.29). Их изменения во времени задаются следующими соотношениями:
wp(5) G ......
DiiDii +0(с-*)у (4.30)
dt 45сб JPi dt
dJfk 2 G
0 + 0(с-6), (4.31)
[Di Дк -DfesDis] + 0(с-% (4.32)
dt 45с3
где квадрупольный тензор системы Dik = tAIik—It)ik, Iik=z^ZiZk + m'z'iz'k Важно, что величины Ey Py Jy разложения которых начинаются стандартными ньютоновскими выражениями (например, ?(5) __ ?НЬЮТ J^ Q-aE4i + с~~5?5), являются вплоть до 5-го
порядка точно заданными функциями мгновенного состояния системы и не зависят от истории системы. Для этих величин никоим образом не используются понятия энергии или момента количества движения гравитационного поля. При этом законы их убывания точно соответствуют уносимым энергии и моменту количества движения квадрупольного излучения, которые следуют из комплекса энергии-импульса Ландау—Лифшица в дальней зоне, где можно воспользоваться линеаризованной теорией (см. (2.53), (2.54)). Из (4.31) тоже очевидно, что до порядка с"5 включительно не происходит потерь количества движения за счет излучения (по этой причине центр масс системы движется равномерно и можно выбрать систему координат, в которой он покоится).
Из уравнений движения (4.29), в частности, можно вывести формулу (2.170) для измерения периода орбиты двойной системы [63]. Дамур математически сложным и громоздким приемом, учитывая нелинейность в теории Эйнштейна (как вблизи тел, так и в разложениях в отдаленных «внешних областях»), проделал этот вывод (являющийся до сих пор самым убедительным) для случая компактных объектов.
Недостатками метода Дамура в настоящее время остаются: использование запаздывающих потенциалов плоского пространства-времени, не ясно, можно ли обобщать метод (в частности, метод аналитического продолжения) до высших порядков; отсутствие оценки ошибок (как и у .всех предложенных методов). Особенно не ясно, в какой степени соблюдаются условия отсутствия
117 входящего излучения на «прошлой световой бесконечности» в реально искривленном пространстве-времени (см. § 3.3), поскольку при решении уравнений (4.9) используются условия на «прошлой световой бесконечности», но в пространстве-времени Минковского. Проконтролировать соблюдение условий отсутствия входящего излучения можно только тогда, когда известны мировые линии источников, а они определены явно только в приближении медленного движения, которое имеет силу лишь в близкой зоне.
§ 4.2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ сильных источников
Примером такого метода для двойной системы является только что описанный подход Дамура, поскольку в нем содержится анализ «внутренней задачи». В общем случае методы, подходящие для расчета гравитационного излучения от сильных, но медленно движущихся источников, описаны в обширной работе Торна [13, 80] (см. обзор в [46]). Его подход не является математически столь же строгим, как методы, изложенные в § 4.1, но с физической точки зрения он вполне оправдан. Здесь изложим только в нескольких словах его главную идею.
Если источники движутся медленно, характеристическое время Я, за которое они изменяются (при с= 1 это также типичная длина волны излучения системы), гораздо больше, чем размеры R системы. Для сильного источника выполняется R~M. Следовательно, В области IOM^г^М гравитационное поле будет сильным, однако для R<r<X/lO оно уже станет слабым и медленно меняющимся со временем. Метрику здесь можно найти приближенным решением нелинейной стационарной задачи с поправками на медленное движение с помощью разложения по г/Я. Таким образом, могут быть получены медленно меняющиеся мультипольные моменты источника. В области г^К и в волновой зоне нелинейности очень малы, однако поправки к движению источника велики; поле имеет характер общего запаздывающего решения линеаризированной теории. Сшиванием решения первой и второй областей получается метрика для волн, излучаемых конкретной системой. Если не учитывать высших мультигголей, метрика имеет точно форму (2.46) или (2.47). Отсюда, как и в гл.2, мы найдем выражения для мощности квадрупольного излучения (2.53). Метод сшивания решений в близкой и волновой зонах с помощью математической теории сингулярных возмущений, так называемое «сшивание асимптотических разложений», был недавно использован для доказательства квадрупольной формулы и для других задач Кейтсом [81] (пионером этой техники является Бэрк [82]).
