Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
108 Предполагая, что (4.8) соблюдается, перепишем (4.7) в форме запаздывающего потенциала [66] (полагаем с= 1):
Ym*(г> t) -J (4.9)
где
AUV = 4f/(iv--(Y^vYPla))pa (4 10)
2я
Конечно, выражение (4.9) не является решением (4.7), поскольку Yiv входят в состав Лц\
Так называемые пуанкаре-инвариантные приближенные методы (когда формально мы остаемся на фоне пространства Минковского, оперируя группой Лоренца с трансляциями, т. е. группой Пуанкаре), или постлинейные, а также постминковские методы (в более ранней литературе также: приближенные методы быстрого движения), исходят из решения уравнения (4.9) методом итераций. Если учесть что Aliv есть функция Yllp и ега производных, а посредством U^ — также функция Гар (см. (4.2а)), то (4.9) можно записать в символической форме
Y = JA[T, Ylret. (4.11)
Теперь можно задавать источники — T^F вместе с последовательностью Ym^ N = 0, 1,2 ... , в которой Ymv =0 (т- е. =Tjt4v),
N 0
и далее решать (4.11) итерациями
Y=f А [Т, у I.. (4.12)
N J ЛЛ_1 ret
Каждое Y является запаздывающим интегралом от источника Т\
N
каждое Y известно уже иэ предыдущей итерации. Очевидно,
JV-I
что Y соответствует линеаризованной теории и запаздывающий і
интеграл имеет форму (2 34).
Элерс [66] показал (хотя и не строго), что данный итерационный процесс ведет к приближенному решению уравнений Эйнштейна тогда и только тогда, когда с надлежащей точностью выполняются все уравнения движения (4.2). (Это закон сохранения (1.110), который возник простым переписыванием «локального» закона сохранения Tliv= 0; в гл. 1 и 2 мы разобрали уже несколько примеров, когда этот закон приводил к уравнениям движения источников.)
Пусть R — характерный размер источников. Например, в системе нескольких тел, вращающихся вокруг своей оси, R — радиус наиболее компактного тела, у которого самое большое отно-
109 шение M/R (М — масса тела). Пусть источники удовлетворяют условию
ITiavI < s2/R2f где E2 = MfRy (Т™-P-MIRs = S2IR2).
Уравнения Эйнштейна будут справедливы в N-м порядке с ошибкой 82N+2IR2, т. е. Gllv-Tllv ^e2N+2/R2 (Giav- тензор Эйнштейна
N N
построенный из g^v), тогда и только тогда, когда они выполняла
ются в (N—1)-м порядке: U vV — є2Л/+2/#3. Это, однако, только
N-I
правдоподобные аргументы, пока ни в одной схеме приближений не была сделана достоверная строгая оценка ошибок.
Основным уязвимым пунктом приближенных методов, исходящих из (4.7), является то, что при вычислении запаздывающего интеграла обычно остаются в плоском пространстве-времени, т. е. запаздывающие эффекты распространяются вдоль световых конусов плоской метрики. Как уже отмечалось, световые конусы в реальном пространстве-времени, т. е. в реальной метрике, могут отличаться весьма значительно. Известно несколько работ, которые учитывают изменение световых конусов и в процессе решения модифицируют закон распространения гравитационного поля: например, учитывают «временное запаздывание» волны вследствие того, что во втором приближении волна распространяется вдоль конусов метрики giXv = i()ixv + Kv, а не т]цу (это сделано в вычислениях Торна и Ковача тормозного излучения при релятивистском рассеянии двух звездных объектов [67, 46]). Большинство авторов, однако, полагаются на то, что ошибки, возникающие из-за интегрирования вдоль световых конусов плоской метрики, не будут слишком большие.
Технические затруднения описанного приближенного метода связаны с функциями источников в правой стороне волнового уравнения (4.7). Вначале мы можем выбрать какое-то фиктивное распределение мировых линий источников и вычислить интеграл (4.9). При итерациях, однако, нелинейности, которые появляются сразу в последующем порядке в правой стороне (4.7), ведут к расходящимся интегралам (4.9). Чтобы получить конечные результаты, надо найти какой-то метод устранения расходимостей. До сих пор наиболее успешный метод был развит Дамуром и его сотрудниками [62, 63]. Этот метод, использующий аналитическое продолжение, позволяет исследовать четыре итерации (4.7) и может быть применим также в случае компактных объектов, таких как нейтронные звезды или черные дыры, если они находятся на достаточном расстоянии друг от друга. К методу Дамура мы еще вернемся ниже.
В последние годы пуанкаре-инвариантное приближение применялось Розенблюмом к конкретным расчетам излучения, возникающего в задачах столкновения при рассеянии на малые углы. Он трижды проинтегрировал уравнения (4.7) и получил в резуль-
110 тате квадрупольную формулу (2.53), однако в своей последующей работе [68] он обнаружил несогласие с этой формулой, которое остается пока необъяснимым (по нашему мнению, это следствие просто вычислительной ошибки), хотя при релятивистском рассеянии, вообще говоря, квадрупольная формула не должна иметь силы [46, 67].
Новый подход, использующий импульсное представление в духе квантовой теории поля, для задач рассеяния частиц в Пуанкаре-инвариантном методе, предложен [69], где впервые получены явные формулы, описывающие спектр излучения, который спадает в 7=(1—(v/c)2)-12 раз быстрее по сравнению с рассеянием в электродинамике при тех же значения^ энергии. В этой работе, однако, нет достаточного числа итераций, чтобы сила радиационного трения явно вошла бы в уравнения движения.
