Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
118 § 4.3. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ НА ИСКРИВЛЕННОМ ФОНЕ
Линеаризированную теорию можно обобщить на случай малых
возмущений искривленного пространства-времени («фона»), опи-
(о>
сываемого метрикой ^llv. Предположим, что фон возмущен неким событием — например звезда с массой IOM падает во вращающуюся черную дыру с массой IO8M , так что действие ее поля можно рассматривать как возмущение метрики Керра. Метрика возмущенного пространства-времени
(0)
fifiw =Sixv + Hvlv9 (4-33)
где возмущения Ativ можно рассматривать как тензорное поле в
(0)
пространстве-времени с метрикой ^v. Предположим, что
Sm-v и guv удовлетворяют уравнениям Эйнштейна в вакууме. Тогда возмущения должны подчиняться уравнениям (ср. с (2.9); детальные вычисления в [1, 2]):
A6;?;a + Aft«;o —Л-.fto —A?& = 0, (4.34)
где ковариантная производная берется с помощью метрики фона <0) (0)
gJllv и h =Aliv^fM-V Yl0 аналогии с линеаризированной теорией введем величины
1 (0)
YiiV = V-Y8^h' (4'35)
И подобно линеаризированной теории можно сделать малое преобразование системы координат (калибровочное преобразование, см. (2.16), (2.17)),
(4.36)
при котором возмущения преобразуются по закону
A jiv AJav (4.37)
Подходящим выбором преобразования (вектора g*4) выполним условия гармоничности (калибровка Лоренца, см. (2.22))
VJiV = 0- (4.58)
Тогда для Ynv получаем обобщение волнового уравнения (2.24): (0)
Yiav^+ 2^vYpa = O. (4.39)
а. Гравитационные волны в высокочастотном приближении
Рассмотрим теперь кратко случай, когда Ynv соответствуют гравитационным волнам с большой частотой (детали можно най-
119 ти в учебниках [1, 2] ив особенности в работе Айзексона [83])„ Это означает, что их длина волны A,<CRy где R — характеристическая длина и время, на которых меняется фон (R характеризует радиус кривизны фона). Тогда изменения Vllv гораздо боль-
(0)
ше, чем сами Ynv, так ЧТО lYnv;a;?l> l#a|A?vYx?J и волновое уравнение (4.39) перейдет в
YllSa = O. (4.40)
С помощью калибровочного преобразования (4.36) можно
(0)
тогда добиться, что кроме (4.38) имело место также Y=rYnvgin7. Теперь (4.40) допускает аппроксимацию «геометрической оптики», в которой волны распространяются вдоль световых геодезических. Можно ввести тензоры поляризации волн как в линеаризированной теории и показать, что они параллельно переносятся вдоль световых геодезических [2, 46] (где анализируется пример распространения волн во Вселенной Фридмана и обсуждаются отклонения от геометрической оптики).
В рамках этой коротковолновой аппроксимации можно найти эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн. Для этого надо исследовать уравнения поля во втором порядке по Ativ.
Тензор Ричи до второго порядка
ILlV = ^nv + RXi+ RVi (4.41)
содержит: метрику фона g1^ в /?[$, члены линейные по вторым производным Afivjajp в RjIi и члены типа Ama7jccAxx'0, HA^vAa?;v;o в Не требуется, чтобы R!i°v=0; только общий тензор Ричи
должен подчиняться уравнению Rliv = 0. Если обозначим характерный порядок возмущения через А («амплитуда» волны), то, вследствие того, что Hiiv-Ay h^.p—A/Xy Hlivipja-A/X2, имеет место R\li — AfX2y RiZi-A2IX2y так что R®.
Для выполнения уравнений Rliv = 0 положим Ryti = O. Члены /?? затем разделим на две части с помощью усреднения по областям с размером L</?, однако L>L Это даст усредненную компоненту <0> которая на расстояниях —X существенно не меняется, И отклонение (флуктуации) — (fljiv). которое, напротив, на этих расстояниях меняется заметно. Флуктуирующая часть в вакуумных уравнениях R^ = O будет компенсироваться членом ^RjSiv (Aa?), который появляется, если рассматривать нелинейные поправки к Aliv, т. е. g^ =gi?J +Ajav + A^; (H^l = Hliv). Медленно меняющаяся часть (R^i) вследствие Rviv = 0 (см. 4.41) играет роль «источника» фона:
C = -(C). (4.42)
Это обстоятельство можно выразить в более наглядном виде, если
120 переписать (4.42) в форме уравнений Эйнштейна с источником — эффективным тензором энергии и импульса гравитационных волн:
(4.43)
Где
(4.44)
Усреднение в случае произвольной фоновой метрики следует сделать методом, который описывает Айзексон [83], называя его «усреднение Брила—Хартля» (см. также [2, упр. 35; 14]). Интегрирование идет по пространственно-временным областям. Чтобы найти усредненное поле в точке Py это поле нужно перенести параллельно в Pf вдоль геодезических из точек Pr в окрестности P и проинтегрировать с некой весовой функцией, которая стремится к нулю, когда P и Pr разделены большим числом волн. С практической точки зрения важно, что это усреднение устраняет все величины линейные по Ativ и его производным; в квадратичных членах позволяет заменять ковариантные производные, <Л.А.;р;о> = = <А.А.;о;р>, аннулирует квадратичные выражения, имеющие форму градиентов, < (А..;А.;.);р> =0 (так что удобно можно интегрировать по частям).
Используя эти свойства, можно в произвольной калибровке установить, что (4.44) может быть представлено в виде
C=-^r {Уа^- ~ (4-45)
