Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
о
в результате первой итерации
Yoo =4Ф + 0 (є4), Y0' = 4W< + О (є48), Y'7 = О (є4), (4.24)
1 7 1
тде О (є4) означает величины порядка є4, а функции
Ф = Є Jjr^JL^ w= Г (4.25)
J (г—г') J IГ — г' I
ньютоновский скалярный и векторный потенциалы. Уравнения
движения в нулевом приближении I^v = T^ = О (є4/?"3)
о о
дают p + V(pv) =0(є4/?-3), и, следовательно,
6 + vW=0(e4^1). (4.26)
Вычислим A^iv, подставляя Ф=—4W\ тогда (4.19) определит
4Ymiv. Найдем Aiav из уравнений движения (4.2) в первом поряд-
2 2
ке (N = 1); исключим производные по времени и из (4.19) определим Y^v- Таким образом, получим последовательность у^
3 N
и соответствующие метрики gVv, как функционалы от р и О.
N
Затем, подставляя в уравнения движения U^ = 0, получим
N—1
N-ю аппроксимацию; ньютоновская аппроксимация отвечает N = 2 (для N= 1 уравнения движения представляют собой только уравнение непрерывности; гравитационное взаимодействие в них еще не включено).
Указанный метод развивали впервые Леви-Чивита [70] и Фок [71, 65]; в 70-х годах Чандрасакар с сотрудниками [72, 73], Андерсон и Деканис [74] и др. Элерс [66] первым обратил внимание на то, что в выражениях для yv» (4.19) нельзя выделить производные по времени из интегралов Jk-1, поскольку тогда расходящиеся интегралы появляются уже во второй итерации. В недавних работах Керлик [75], Броер и Рудольф [76] и Андерсон [77] выполнили четыре итерации, которые приводят в уравнениях движения к появлению тормозной силы гравитационного излучения в согласии с квадрупольной формулой (3.81). Из весь-
114 ма длинных расчетов вытекает, что для усредненного изменения;
справедливо простое выражение (А/ означает ниже тензор квадрупольного момента (2.43))
Такой же результат получил недавно Футамасэ [78] на основе другого подхода, в котором он исходил из статистического определения излучения Шутца [79] и по-другому формулировал ньютоновский предел. Квадрупольная формула здесь также была подтверждена для слабых полей, но на основе гораздо более глубоких соображений, чем в гл. 2. Следует подчеркнуть, что вычисление изменений орбиты бинарной системы вследствие эмиссии гравитационных волн проводится в «ближней зоне» и не требует никаких аргументов, касающихся энергии гравитационных волн. Что касается метода в целом, то следует уточнить (это до сих пор не ясно), возникнут ли расходящиеся интегралы в последующих итерациях, и действительно ли данные схемы хорошо аппроксимируют точные решения уравнений Эйнштейна.
Описанные аппроксимации не являются вполне подходящими для таких систем как двойной пульсар тила PSR 1913+16, содержащий компактный объект с радиусом порядка гравитационного R ~ GMIc2i так что гравитационный потенциал на его поверхности не удовлетворяет условию Ф~GMjRc2^li которое в предыдущих схемах приближений всегда предполагалось. Наиболее исчерпывающий метод для такого случая развит в последние несколько лет парижской группой Дамура. Этот метод технически весьма сложін, и мы опишем его только очень кратко. Интересующихся отсылаем к обзорам [62, 63].
Хотя компактные объекты не удовлетворяют условию «слабого поля», мы включили подход Дамура в данный параграф, поскольку в областях, достаточно далеких от компактных тел, можно пользоваться уже описанными методами.
Метод можно разбить на следующие шаги.
1. С помощью методов возмущений на искривленном фоне (которые описываются в § 4.3) анализируется «внутренняя» задача возмущений для каждого изолированного тела отдельно. Предполагается, что второе тело находится достаточно далеко, так что его влияние можно исследовать как возмущение метрики Шварцшильда, которая описывает первое тело. Так получается метрика в окрестности обоих тел до некоторых поверхностей, окружающих тела. (В случае системы PSR 1913+16, которая, вероятно, составлена из двух нейтронных звезд с радиусами —10км и расстоянием -IO6 км, «внутренняя» задача возмущений касается областей с радиусами -IO2 км вокруг звезды). Оказывается, что метрику внутри этих областей можно представлять метрикой
ньютоновской энергии системы
EN = ^ р (1/2 V2— 1/2 Ф) d?г
(4.27)
115 Шварщішльда; влияние второго тела имеет порядок ~ (v/c)Q, где V — типичная скорость движения тел.
2. Преобразованием к координатам «внешней» задачи получается вид краевых условий для гравитационного поля все «внутренних» областей вокруг тела. С точки зрения внешней задачи каждое тело характеризуется своей мировой линией и сингулярная метрика вблизи мировых линий имеет в основном шварц-шильдовское поведение; внешняя метрика вблизи каждой мировой линии содержит только один параметр — массу тела.
3. После этого решаются уравнения (4.9), пользуясь методом аналитического продолжения [62]. Несмотря на сингулярное поведение метрики вблизи мировых линий тел во внешних координатах, этот подход позволяет найти решение (4.9) до кубических нелинейностей (т. е. до порядка G3) в форме функционалов двух (произвольных) мировых линий в пространстве-времени Минковского, Y^v = Y^av (*, 2(s), 2/(57)), которое сохраняет условия (4.8) отсутствия входящего излучения. (В этом пункте метод Дамура имеет тот же самый недостаток, как и другие стандартные пуан-каре-инвариантные методы, в которых предел берется вдоль световых конусов плоской метрики.)
