Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнений типа (4.48) позволяет найти гравитационное излучение различных объектов вблизи черных дыр или излучения от гравитационного коллапса звезды с малыми отклонениями от сферической симметрии. Источник Tim в правой стороне (4.48) тогда определен разложением в гармоники тензора энергии-импульса, например частицы, падающей в черную дыру по геодезической. (Вычисления на искривленном фоне обычно не учитывают тормозную силу гравитационного излучения — считают, что это эффект высшего порядка.) Уравнение (4.48) похоже
123 на то, которое возникает в задаче рассеяния на потенциале в квантовой механике. В случае (4.48) волны рассеиваются на эффектном потенциале V, который всегда короткодействующий. Этот потенциал возникает вследствие кривизны пространства-времени вне черной дыры. Разложением Фурье по времени 4^(/, г*) =
оо
= § ешу?1т&(і(й (подобно И ДЛЯ Tim) приходим к уравнению
о
-T^ + Irf-Vlma (Г*)] Vinua = Tlmer (4.49)
dr*2
(В случае вращающейся дыры можно также найти уравнения такого типа, однако V зависит не только от /, но также от ш и со.) Удобно ввести два независимых решения однородного уравнения (т. е. при Timtii = 0); xP00 и xPtf, где индекс H означает принадлежность к горизонту черной дыры (г*-*—оо):
xP00 ~ е~Шг* для г* + оо,
~ Bir&W + Bonte~iu)r* ДЛЯ Ґ оо;
xP н~ Ait^w+ А^ег*"' для г*-> + оо,
~ еШ* ДЛЯ Г* —>¦ — OO,
так что W00 представляет излучение, только уходящее на бесконечность, Wh — излучение, только входящее на горизонте (в случае дыры Keppa надо модифицировать со на горизонте вследствие вращения). Решить неоднородное уравнение (4.49) можно с помощью функции Грина. Тогда амплитуда излучения, которое уходит на бесконечность, равна
OO
Vlma = —(еШг*/2і(оАіп) j Vh (ґ') Tlmtit (r')dr" (4.50)
H
и энергия (для данных со, /, т), излученная в телесный угол dQ = SinO dQdq> в интервале частот dco, будет
dJu = CO21 Wim, |:21 Yim (8, <р) 12ClQdCO9 (4.51)
где Yim (Оф) — сферические гармоники (в случае вращающейся дыры следует заменить Yim на более сложные угловые функции).
Для определенных дискретных частот со (вообще говоря, комплексных) существуют решения (4.49), которые одновременно описывают волны только входящие на горизонте и только выходящие на бесконечности. Они представляют так называемые нормальные моды колебаний черной дыры (или свободные колебания дыры); они могут возбуждаться, например, при падении частицы в дыру. Из (4.50) видно, что эти моды можно искать как полюсы амплитуды прошедшей волны A^11 (в (4.50) содержится волна, входящая на горизонте, с амплитудой 1, поэтому амплитуда про-
124 шедшей волны равняется 1 Min), или как нули Ain. Тогда Ч^я в (4.50) есть излучение, выходящее на бесконечности и входящее на горизонте. Метод поиска соответствующих резонансных частот описан в обзоре Детвайлера [92] и в недавней работе Шутца и Хилла [93] (см. тоже ссылки в ней). В случае черной дыры Шварцшильда с массой M резонансные частоты для достаточно больших / даются соотношениями
Re(<o)~—L—]vr\ Im (о) ^ 0,95ДГ1. (4.52)
З у 3
Эти соотношения с удивительной точностью подходят также для частот с I = 2, 3, 4, что было показано численными расчетами. Резонансные частоты вращающейся дыры зависят, кроме того, от азимутального числа т. Для очень быстро вращающейся дыры (когда момент импульса на единицу массы дыры а->М) появляется большое число частот, которое приближенно описывается формулой
Re (со) =—ат/2Мгн, т=2, 3, ... . (4.53)
Мнимые части при этом очень малы, поэтому на этих частотах дыра может осциллировать очень долго.
Описанные вычисления гравитационного излучения от частицы, падающей в дыру, или от несферического коллапса приводят к следующей физической картине: излучение медленно нарастает в согласии с квадрупольными формулой линеаризованной теории, затем появляется импульс характерной ширины M"1, далее следуют слабые осцилляции, вызванные возбуждением резонансных частот дыры, и, наконец, приходит хвост волн, который есть следствие того, что волны распространяются не в плоском пространстве-времени, а подвержены влиянию кривизны вне черной дыры. В следующей главе форма некоторых импульсов будет представлена.
Осцилляции релятивистских звезд более сложны для расчета, потому что следует рассматривать также внутреннюю структуру звезды, а точные решения, особенно в случае, когда звезда вращается, не известны. Большое количество работ посвящено осцил-ляциям звезд в модели идеальной жидкости (см. особенно обзор Торна [64]). Под влиянием взаимодействия гравитационного поля и жидкости уравнения для возмущений настолько усложняются, что до сих пор не удалось получить соотношения типа (4.48) в общем случае неизэнтропических колебаний. Тем не менее здесь также существуют функции 1P, соответствующие динамическим степеням свободы, которые удовлетворяют волновым уравнениям «с правой частью» (эта часть определяется в каждый момент решениями других уравнений, не содержащих производных по времени). В случае релятивистских звезд, когда нет горизонта, достаточно вместо двух решений (4.50) рассматривать только решение вида
