Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 =gmdu2 + 2 g01dudr + 2 g02dudQ + г2 (е2Ш2 + + г2 (е2Ш2 + е-2* Sin2 бЖр2), (3.52)
где goo, gou g02, Y — функции U1 9 и г. Функции goo, gou fite/sin Є и <y/sin29 должны быть регулярными при sin 9-^0, чтобы метрика была регулярной на оси симметрии (SiAO = O). Если в соответствии с условием, что излучение является только выходящим, предположим, что функция у может быть разложена в ряд по степеням г-1, то получим Y = С(и, 9) -r~l + О (r~2) \ аналогичные разложения можно записать и для goo, goi, go2- Вакуумные уравнения поля (и дальнейшая спецификация системы координат) приводят к метрическому тензору со следующей асимптотикой:
goo= — (1 -2Mr-') + О (г-2), g02 = C9 + 2С ctg Є + О (г-*),
Soi= -(I-V2CV"1)+О(г-з), g22 ==r2 + 2Cr + 0(1),
g33 = г2 sin2 0—2Cr sin2 0+0(1), (3.53)
где M и С — функции только и и 9, связанные соотношением Mu = -Cu2+ V2(Cee + 3Ce ctg9—2С)и\ Cuy C0...— частные производные по соответствующим координатам. Уравнения поля показывают, что эволюция поля во времени определена начальными условиями, если функция С (и, 9) известна. Ее изменения дают всю информацию об изменениях поля, поэтому Бонди назвал Cu функцией информации.
Эта функция фигурирует также в асимптотическом разложении тензора Римана: R =—Cuur-1 + (Csin29)0er24-O(r-3). По аналогии с электромагнитизмом (где поле представляет излучение, если тензор поля F~r~l) гравитационное поле изолированной системы тел считается излучательным, если R~r~l, т. е. СииФ0. Более того, можно показать, что алгебраическая структура первого члена в разложении R идентична структуре плоской волны. (§ 3 2) Если обозначить коэффициент при г~х как Na^16 (~Cun), обнаружим, что NamNa^ = Na^т. е. это поле типа N\ та-
98 ким образом, поле вдали от изолированной системы тел имеет характер плоской волны не талько в рамках линеаризованной теории, как мы видели в § 2.5, но и в точной таррии.
Сравнением со статической метрикой акстально-симметричных систем тел Бонди определяет энергию (массу) произвольной излучающей системы выражением
я
т (и) = Y J M (іа, 9) sin 0 d8, (3u54)
о
я
и, поскольку Ttill=--- Jqsinodo, он делает вывод, что систе-
0
ма тел излучает только прм СифО.
К результату (3.54) можно прийти также с помощью комплекса энергии-импульса, в частности комплекса Ландау — Лифшица (1.116), если пользоваться асимптотически «минковской» системой координат (см., напр., [44]). Подчеркнем, что метрика Бонди удовлетворяет инвариантным услов-иям «асимптотической плоскостности» Пенроуза, приведенным выше [45], и что инвариантным образом определенная энергия на tf+ совпадает с (3.54) [41].
На достаточно больших расстояниях г от системы тел угловое распределение потока энергии (диаграмма направленности) описывается выражением
S(U,0)=4-Ca(".0)-7 (3-55)
4 я и г%
при мощности излучения я
JL Jq SinOde. (3.56)
Нетрудно видеть, что (3.55) «грает роль {неусредненного) потока энергии (2.98) в линеаризованной теории и связь между h]]Т и функцией Бонди задается соотношением
= — Ш Ы—(еФ),' ЫЛ, (3.57)
где е0, еф — единичные векторы вдоль координатных линий 0 и ф [46]
в) Точные радиационные решения, описывающие излучение от источников конечных размеров
К настоящему времени известен только один класс радиационных ассимптотически плоских решений, допускающих наличие глобального в смысле, определенном в начале этого параграфа. Это решения, описывающие излучение от источников конечных размеров, которые «равномерно ускоренны» вдоль оси сим-
4*
99 метрии (z). Соответствующий тип пространства-времени обладает аксиальной и бустовой симметрией; здесь «буст» формально совпадает с преобразованием Лоренца вдоль оси симметрии даже в случае, когда прс^транство-время не является плоским.
Метрика произвольного буст-аксиально-симметричного пространства-времени может быть представлена в «цилиндрических координатах» t, р, z, ср в виде
ds2 = —еЫр2—р2е~Ыч>2 + (z2—^2)-1 [(ZVa-№) dt2 — —(г2е%—№) dz2 + 2zt (ех—е») dzdt, (3.58)
где [x(p2, Z2—t2) — решение волнового уравнения для плоского пространства; % определяется через \i интегрированием в квадратурах. В этих координатах вектор Киллинга для буста имеет тот же вид, что и в плоском пространстве-времени (§ 1.3, (1.93))
Tia= (z9 О, U 0). (3.59)
Он является времениподобным в области z2>t2 и пространствен-
ноподобным при t2>z2. Следовательно, в области t2>z2 пространство-время не является стационарным (рис. 3.3). Поэтому именно здесь следует ожидать появления радиационных свойств у поля. Заметим также, что выходящие нулевые геодезические, начинаясь в любой точке пространства-времени, непременно достигают области /2>z2, если только они не направлены вдоль оси z. Прежде чем перейти к радиационным свойствам буст-аксиально-симметричных решений, представим в явном виде функции |л и % для одного типичного класса этих решений — для решений, полученных Боннором и Сваминараяном [47]. Для этих БС-решений функции \х и X имеют вид
їх = -(2O1IR1)-(2U2IR2) + (^/A1) (2U2Ih2) + lgfc; I = W1U2Kh1 -h2)2] f -P2 (z2-t2) [(U21IR41) + U22IRt) + + (2u1Rlh1R1) + (2 U2RIh2R2) + Ig k; (3.60)
