Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
В случае плоской волны особенность является лишь координатной, а не истинной (при которой, например, расходились бы инварианты тензора кривизны). Это хорошо видно, если вместо / и g ввести функции L и ?, связанные с / и g соотношениями
fg=L\ f/g=e2P. Метрика (3.34) тогда примет вид ds2=—dt2+L2 {е2Чх2+е~2Щ2) +dz2= =—dudv+L2 {е2Ых2+е~2Чу2).
(3.45)
(3.46)
Соответственно уравнения поля будут выглядеть как
L"+?'2L=0. (3.47)
Если они удовлетворяются, то не равны нулю следующие компоненты тензора Римана:
= = (З-48)
Из (3.47) следует, что
?=±/(-L"AL)1/2^. (3.49)
В силу (3.48) истинная волна должна иметь место только при переменном ?. Нетривиальное решение можно найти, например фиксируя L, тогда интегрированием (3.49) определим ?.
Из уравнений поля (3.47) видно, что для некоторого и имеет место L=O и метрика становится сингулярной. Перед приходом волны типа «сандвич» L = L>0, ?=?o — постоянные, после прихода волны и за волной должно быть где-то L=0, поскольку L"<0 (см. (3.47)). Пусть, например, после прохода волны L=l—u, ?= =0; здесь поверхность U=O представляет задний фронт волны. Такой выбор L не соответствует точно (3.41) (где, однако, видно, что L2=fg является квадратичной функцией после прохода волны), но является самым простым. Внутри волны, конечно, ? и L оказываются другими функциями и и необходимо соблюсти усло-
94 вия сшивания на фронтах. Итак, предполагаем, что метрика (3.46) после прохода волны имеет вид
ds2 = —dt2+ (1-й)2 (dx2+dy2) +dz2 (3.50)
и становится сингулярной для и=\. Однако преобразование T= =^-V2 (1-й) (х2+у2)у X=(l-u)xy Y=(l-u)y, Z=Z-^2(X-U) (х2+у>) переводит (3.50) в метрику Минковского
ds2= -dT2+dX2+dY2+dZ2y
так что особенность в точке и= 1 устраняется. Таким образом, видно, что эта особенность носит чисто координатный характер. Подробное обсуждение движения пробных частиц после прохода гравитационной волны можно найти в [25, 26], где метрика представлена в координатах, в которых никакой особенности не возникает.
Детальный анализ произвольной плоской волны был уже выполнен в пионерской работе Бонди. Было показано в общем случае, что особенности плоских волн имеют координатный характер. Обобщенная метрика в обозначениях работы [27] имеет вид,
ds* =ею[ — dx2 + dl2\ + U2 [ch 2? (drf + dl2) -f
+ sh 2? cos 20 (drf — dt2) —2 sh 2? sin 20 dr\dQ, (3.51)
где Ф, ?, 9 — функции U=%—\9 удовлетворяющие в вакууме уравнению 2Ф'=1) (?'2+0/2 sh2 2?). Предполагая, что 9=0, v=x+%y и= =fe2&(V)dUy и обозначив U(u)=Ly ?=?(f/(u)), <ц=Ху i=yy получим метрику (3.46). Условие 9=0 соответствует основной поляризации. Поляризацию, повернутую на 45°, получаем, положив в (3.51) 9=я/4, L2=Zy2 ch2?. Если далее положить U2=f, th 2?=g", придем прямо к метрике (3.40).
Пространство-время, описанное метрикой (3.51 допускает пя~ типараметрическую группу движения. Следовательно, в этом про-странстве-времени существует пять независимых векторов Кил-линга (§ 1.3). Это в точности аналогично случаю электромагнитной плоской волны, допускающей пять независимых видов симметрии.
Интересная задача рассеяния волны на волне была проанализирована в рамках точной теории с помощью плоских волн с профилями типа б-функций [28, 29]. Пенроуз показал [30], что всякое волновое пространство-время (3.51) в определенном смысле имеет плоскую волну своим пределом. С физической точки зрения интересный анализ плоской волны дан в [2], математические аспекты см. в [31, 39]. Были проанализированы также другие точные решения уравнений Эйнштейна радиационного характера, например, цилиндрические волны, решения Робинсона — Траутмана (см. [32) и цитированную там литературу), и различные решения космологического характера, которые в некотором смысле содержат гравитационные волны [33, 34]. Обзор разных математических опре-
95 делений и критериев, выделяющих волновые поля тяготения ИЗ всех гравитационных полей, дан в книге Захарова [31].
Единственными из известных к настоящему времени точных радиационных решений, относящихся к источникам конечных размеров и соответствующих асимптотически плоскому пространству-времени, являются решения с бустовой и аксиальной симметрией. Мы кратко опишем эти решения в последнем разделе данной главы.
§ 3.3. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА РАДИАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Рамки данной книги не позволяют развернуть здесь подробное обсуждение этих вопросов, получивших в последние годы значительное развитие. По этой причине предлагаемое ниже изложение носит обзорный характер. Прежде всего дается строгое определение асимптотически плоского пространства-времени, которое соответствует изолированным (островным) излучающим системам тел. Далее кратко описывается метод Бонди, с помощью которого получается асимптотический вид решений с аксиальной симметрией на больших расстояниях от источников. Наконец, обсуждаются известные решения, описывающие источники конечных размеров, — решения с аксиальной и бустовой симметрией, описывающие равномерно ускоренные объекты разных типов, а) Асимптотически плоское пространство-время
