Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Но может ли поле терять аналитичность на границе каких-либо двух областей в вакууме? Если да, то каковы условия на такой границе?
Волны всегда распространяются с определенной скоростью, так что эволюционирующий фронт волны всегда будет определенной гиперповерхностью, причем ожидается, что для электромагнитных или гравитационных волн это всегда будет нулевая (светоподоб-ная) гиперповерхность. Для математического описания полезно напомнить понятие характеристической поверхности (характеристики) из теории уравнений в частных производных второго порядка (см., напр., [21]). Характеристика — это поверхность, на которой решение гиперболического уравнения второго порядка в частных производных может иметь разрыв. Например, вторые производные по обеим сторонам поверхности могут различаться. Если заданы начальные условия (начальные условия задачи Коши, т. е. функции и их производные по времени) на некоторой пространст-венноподобной гиперповерхности ^=Const, то эти условия однозначно определяют и вторые производные, так что последние разрыва не испытывают. Отсюда ясно, что пространственные гиперповерхности не являются характеристиками. Однако при решении задачи с начальными условиями на характеристиках могут возникнуть неоднозначности; при этом характеристика представляет собой волновой фронт.
Проиллюстрируем это утверждение самым простым и часто используемым примером из теории поля. Рассмотрим скалярное поле, удовлетворяющее волновому уравнению
? ф=^ф;ар=0. (3.1)
Здесь предполагается, что геометрия пространства-времени фиксирована, так что ga?> — заданные функции координат. Ковари-антный оператор Даламбера можно записать в виде (см. (1.27))
чг=- (SzzSga**.*).* = ?a?(IW +А = ё°0ф>оо + B= 0, (3.2)
У —ё
где А не содержит вторых производных потенциала и В не содержит второй временной производной. Если на некоторой начальной
84 гиперповерхности S (x°=const) заданы начальные условия задачи Коши, т. е. заданы Ф и Ф>0, то можно рассчитать все пространственные производные Ф,; и Ф>0і, а из (3.2) выразить Ф>0о, если g-00-^ ?=0. Уравнение (3.2), конечно, можно продифференцировать и получить производные Ф по времени. Зная Ф и все его производные на гиперповерхности Sy можно с помощью разложения в ряд Тейлора однозначно определить (хотя бы вблизи S) временную эволюцию поля Ф. Задача Коши имеет однозначное решение.
Предположим, что гиперповерхность, на которой заданы начальные условия Коши, определяется выражением
и (X1х) =tt=const. (3.3)
Теперь можно выбрать новую систему координат, в которой х°'= =и. Волновое уравнение (3.2) сохраняет свой вид в новой системе координат, задача Коши может быть решена если только
g дх« дх* ^ dx« дх* g ^
В случае, когда
ца*иащ=0у где иа=ди!дх*у (3.4)
т. е. градиент к S является нулевым вектором (S называется нулевой гиперповерхностью), в окрестности S волновое уравнение однозначно не решается. На 5 нельзя даже сформулировать стандартную задачу Коши, потому что при задании на S произвольных Ф и Ф,0 может возникнуть противоречение с (3.2), ибо член, содержащий Ф>00, теперь отсутствует. Именно в этом случае S называется характеристикой волнового уравнения (3.2).
Покажем теперь, что если 5 является характеристикой, то при ее пересечении вторые производные Ф,ар могут испытывать разрыв. Если обозначить через АЛ скачок величины А при пересечении Sy то сделанные выше предположения примут вид
ДФ=0, Д[Ф,а]=0, А[Ф,ар]=Тар=Тра,
где мы ввели функцию xFap для описания скачка. Пока будет считать S произвольной гиперповерхностью, заданной выражением (3.3). Выберем на ней две близкие точки хд и x^+dx»*, тогда
Uvdx11 = O. (3.5)
Пусть Ф,а(хц4-^хд) =ф>а(хц) +Ф|вр(X1OdXp; для скачков этих величин также справедливо
Д [Ф,а (x*+dx») ]=Д [Ф,а (х>) ]+Д [Ф,ар (Xfi) ]dxp
(это выражение не имело бы смысла, если бы хд и x^+dx11 не лежали на S). В силу непрерывности первых производных получим
А[Ф,ар (*) Jdxp=Wapdxp=O. (3.6)
85 Вектор dxм должен удовлетворять только условиям (3.5). Умножив эти условия на множители Лагранжа Xa9 прибавим их к (3.6): (xFapH-AaUp) dx?==0. Из условия независимости определим Aa выражениями xFapH-Aa^=O. В силу симметрии xFap имеем AaUp = =UaKfi9 что возможно только при Aa=lKua. Отсюда получим (обозначив A=-xF)
Д[Ф ,OA=yPav=xPUatlt. (3.7)
Волновое уравнение должно быть справедливо вне зависимости от того, с какой стороны мы приближаемся к S9 так что должно иметь место (см. (3.1), (3.2), (3.7))
0 = д [gaKD. ар] = д [gap®eap] + Д [А] = ga?AO,a? = Vg^UaUfi9
где А — члены, не содержащие вторых производных Ф. Если S ~~ ненулевая гиперповерхность, т. е. на ней не справедливо (3.4), то последнее из этих соотношений приводит к xF = O, Т. е. К Д[Ф,ар]= =0. Итак, можно сделать вывод: разрывы второй производной поля могут иметь место только при прохождении характеристической гиперповерхности, т. е. фронта волны.
В случае электромагнитного поля для исследования удобно использовать компоненты напряженности, т. е. тензор электромагнитного поля Fafl9 удовлетворяющий уравнениям Максвелла в вакууме. Допустим, что разрыв поля имеет место на гиперповерхности S9 заданной при соответствующем выборе координаты и — соотношением и=0. Без потери общности можно считать, что разрыв Fafi можно представить в виде
