Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
ds2=-dt2+ (1 +2?) dx2+ (1—2?) dy2+dz2. (3.39)
Это метрика плоской волны (с любым профилем), распространяющейся вдоль оси Z и имеющей поляризацию е+ в линеаризованной теории (2.79), (2.83).
Волну с поляризацией ех мы получим, если будем исходить из метрики
ds2=—dt2+f2 (dx2+dy2+2gdxdy), (3.40 а)
в которой f и g і— функции и. Для /= 1 и произвольного, но малого g(u) выражение (3.40 а) переходит в метрику (2.81), (2.84) линеаризованной теории с поляризацией ех.
Вернемся теперь к метрике (3.35) и рассмотрим плоскую волну слоистого типа (типа «сандвич»). Решение этого типа удобно представить на пространственной (рис. 3.1) и пространственно-овременной (рис. 3.2) диаграммах. Искривленное пространство-
91 время заключено между двумя гиперплоскостями, движущимися по направлению своих нормалей со скоростью света относительно' плоских областей пространства-времени, существующих «перед» и «за» сандвичем. Следует подчеркнуть, что эти две области нельзя представлять как одно плоское пространство-время, на фоне которого распространяется гравитационная волна. Необходимо сшивать три вакуумных решения уравнений Эйнштейна.
Рис. 3.1. Плоская волна типа Рис. 3.2. Плоская волна типа «сандвич»; пространственная диа- «сандвич»; пространственно-грамма временная диаграмма
Из § 3.1 следует, что эволюция волнового фронта происходит на нулевой гиперповерхности, при переходе через которую тензор Римана испытывает разрыв. Из (3.35) ясно, что гиперповерхность a=const нулевая: вектор ма^=дам=( 1, О, 0, 0) нулевой, так как g^UvUt=g00=0 (и=х°).
Рассмотрим теперь простые решения уравнения (3.38)
/=Cos (и/а), g=ch (и/а), (3.40 б)
где a=const. Предположим, что эволюция передней и задней поверхностей волны определяется выражениями м=0 и м=а2 (см. рис. 3.2). Пусть для м<0 (область I на рис. 3.2) f=g= 1, т. е. пространство-время плоское. Внутри сандвича fug задаются формулами (3.40 6). Легко видеть, что на волновом фронте метрический тензор и его первые производные непрерывны. Чтобы пространство оставалось плоским после прохода волны, необходимо, чтобы fug были линейными функциями м (см. (3.36), (3.37)). На плоскости м=а2 функции / и g и их первые производные должны быть непрерывно сшиты функциями (3.40 6) так, чтобы все g^H были бы также непрерывны.
Во всем пространстве-времени / и d задаются следующим образом:
92 при и < 0: / = g = 1;
0<н<а2: f = Cos(и/а), g = ch(u/a); (3.41)
а2 < a: f = — (и/а) sin a+ cosa+ a sin а,
g- = (и/а) sh a + ch а—ash а.
Нетрудно убедиться, что на характеристических гиперповерхностях и=0 и и=а2 соблюдаются условия, сформулированные в § 3.1.
Пусть {ut vt Xt y}={x°t х\ X2t хъ}\ тогда A[g^=HlxUkUllt где Uk= = (1, 0, 0, 0). Отличны от нуля только #22=—2/а2, #33=2/а2 для и=0 и H22~ — (2/а2) cos2 at #33= (2/a2)ch2 а для и=а2. Отсюда легко найти, что Hj=0 для и=0 или u=a2t т. е. условия (3.27) удовлетворены. Скачок тензора Римана дается выражением (3.24), где вместо ик и Hvt следует подставить приведенные выше выражения. Получаем ARixkil^ а~2.
Естественно, что в нашем случае ARvikll=Rixkilt поскольку вне волны пространство является плоским. Прямым вычислением легко убедиться, что
R R1^==O=RixkilWt (3.42)
т. е. гравитационное поле плоской волны есть поле типа N (ср. с (3.33)).
Тензор Римана входит непосредственно в уравнение отклонения геодезических (1.100). Как и в случае слабой волны, свободно падающая частица будет покоиться в координатах xt yt Zt так как решением уравнения геодезической в метрике (3.34) для произвольных fug являются постоянные xt yt Z. В координатах Xt у,. Z ненулевые компоненты тензора Римана будут
RiXiX = RiXX2 = ff ' Ryty = ^yyz 1
Rxztx = Kxz = -Hf. Ryzty = 4yZ = -8"/8- (3-43)
Свяжем с частицей, пространственные координаты которой фиксированы, тетраду Va=eft) = (l,0,0,0), ?0)=(0,/^,0,0), 6(2) = = (0, о, g-1, 0), ?(3) = (0, 0, 0, 1). Легко убедиться, что De^dx = Or т. е. эта тетрада является невращающейся (см. § 1.2). Вектор, соединяющий нашу частицу с любой другой близкой свободно падающей частицей т]ц=(0, A*, Ayt Az) в этой тетраде имеет компоненты (0, /Дх, gAyt Az). Вычислив тетрадные компоненты тензора Римана, найдем уравнение отклонения геодезических в простой форме:
jeafU^c.,, *DU-=0. (3.44)
dt2 f dt2 g ' dt2 V '
Отсюда непосредственно видно, что волна является поперечной. Далее, из уравнений поля (3.38) следует, что действие волны на
93 частицы, расположенные по осям х и у, одинаково по величине, но противоположно по знаку. Если максимум \f"lf\ = \g"lg\ считать амплитудой волны, то амплитуда нашей конкретной волны постоянна и равна аг2. Из решения (3.41) для а>а2 и уравнений (3.44) также следует, что все частицы с фиксированными у и z сближаются, потому что f убывает линейно с u=t—z и /=O для u=a2+a ctg а, т. е. частицы сходятся в одну точку и в метрике (3.43) возникает особенность.
Именно особенность такого типа привела Эйнштейна к заключению, что плоские волны в ОТО не существуют. Причина такого вывода понятна, поскольку еще не были разработаны методы различения истинных и лишь координатных особенностей.
