Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Fat=fat+Wafi{u), (3.8)
ГДб /ар, xFap непрерывные и дифференцируемые на 5 функции; ступенчатая функция определяется обычным образом: 9 (и) = 1 при и>0 и 9(а)=0 при и<0 (иногда полагают 9=72 при и = 0). Тогда в'(и) =8 (и), где б (и) — дельта-функция Дирака. Вновь обозначая щ=ди/дх\ дифференцированием (3.8) найдем
Fa^1=Ul+xFocmQ (") +4^8 (u) (3.9)
и из уравнений Максвелла получаем (циклическую перестановку индексов обозначим [ ]с)
/la?, Vlf + YiapiVlf 8 (И) + Vlatfhlc 6 (и) = 0. (3.10)
Это соотношение должно выполняться на S и в ее окрестности. Пусть и<0, тогда f|a?,v!f=0; но это должно быть справедливо также на S и для некоторого и>0 в окрестности S, поскольку /а(5 с производными непрерывны на 5. При стремлении к 5 со стороны и>0 аналогично получим из (ЗЛО) ^fJapvJf =O- Наконец, после умножения на произвольную непрерывную, интегрируемую функцию переменной и и интегрированию по и найдем, что на S выполняется
TlapMvb=O. (3.11)
86Несложно показать, что уравнения Максвелла /а,р = 0 приводят к условию на гиперповерхности S
WapMp=O (3.12)
(и очевидным образом к /?;? = 0 И Ф^р==0).
Распишем циклическую перестановку в (3.11) и умножим результаты на мт; тогда с помощью (3.12) получим
WapU1Ul=O. (3.13)
Отсюда и из (3.8) заключаем, что электромагнитное поле в вакууме может испытывать разрыв (Wap=H=O) на некоторой гиперповерхности S тогда и только тогда, когда она является нулевой (MtMt=0). Рассматривая задачу Коши для системы уравнений Максвелла, можно показать, что так же, как и в случае скалярного поля, нулевые гиперповерхности будут являться характеристиками.
Рассмотрим, далее, алгебраическую структуру разрывов Wap в случае электромагнитного поля (аналогичная структура обнаружится и у возможных разрывов римановского тензора в гравитационном случае). Для начала учтем, что матрица Wap антисимметрична и поэтому может иметь только четный ранг (см., напр., [7]).
Для электромагнитного поля матрица разрыва Wap может иметь ранг 2 или 4. Поскольку ее столбцы связаны соотношениями (3.12), она должна иметь ранг 2. С помощью не слишком сложных алгебраических рассуждений можно показать, что разрывность электромагнитного поля характеризуется тензором с алгебраической структурой
Wap = Ma9P~MP9a, (3.14)
где
MaMa=O, Uaqcc=Oy (3.15)
qa — некоторый вектор на S. Последнее соотношение (следующее из подстановки (3.14) в (3.12)) означает, что qa должен быть пространственноподобным вектором, поскольку нулевой вектор может быть перпендикулярен только сам себе и пространственноподобным векторам.
Определим теперь, как меняются векторы электрического и магнитного полей (Е, В) при переходе через волновой фронт. Как известно, инварианты электромагнитного поля в любой инер-диальной системе отсчета задаются соотношениями
FapFap=2 (В2-E2), (3.16)
/7ap*/7a? = 4EB, (3.17)
где — дуальный по отношению к Fap тензор. Для приращений при проходе через волновой фронт получим
87AFapAFa?=2[(AB)2- (ДЕ)2],
(3.18)
A/7apA*/7a?=4AEAB. (3.19)
Из выражения (3.8) для xFap очевидно, что AZ7ap=Wap; однако вследствие (3.14) и (3.15) имеем
A/7apA/7a?=4rap4ra?=0=4rap*4fa? =AFapA *Fa?. (3.20)
Учитывая (3.18), (3.19), находим, что изменения полей AE и AB при переходе через нулевую гиперповерхность разрыва должны удовлетворять условиям
IAE( = I AB I; AEAB=O. (3.21)
Гиперповерхность разрыва задается выражением и=0 только при соответствующем выборе координаты и; в координатах она задается выражением U(Xfi)=Const, которое можно переписать в виде t—f (Xi)=O. Трехмерный вектор п, перпендикулярный фронту волны в момент /=const, имеет компоненты Hi=OfIdxi. Дифференцируя и (f (Xi)y X'') =const по Xi9 находим и0ъ+ш=Оу иа=ди/дхау как и в (3.4); следовательно, Ui=-Uotii. Из (3.12) имеем AFa^=Oy при а=0 получаем AEiUi=AEitiiU0=O. Аналогично из дуального по отношению к (3.12) выражения, которое дает A*Fa?u?=0, получим для a = 0 условие ABiUi=-ABitiiU0=O. Следовательно, помимо (3.21) приращения электромагнитного поля должны подчиняться соотношению
AFa^?=A*FapH?=0, (3.22 а)
которое в трехмерном виде запишем как
AEn=ABn=O, (3.22 6)
где п — вектор направления распространения фронта волны. Существенно, что в случае плоской электромагнитной волны E и В удовлетворяют в точности тем же соотношениям, что и AE и AB. Электромагнитное поле с такими алгебраическими свойствами называется нулевым полем или полем типа N.
Обратимся к гравитационному полю и вспомним, что (§ 1.1) метрический тензор играет роль потенциала, аффинная связность — роль напряженности, а римановский тензор — роль градиента напряженности поля тяготения Ньютона. Аффинную связность можно сделать нулевой переходом к ЛИСО, тензор Римана сделать нулевым нельзя. В соответствии с этим будем предполагать, что при переходе через гиперповерхность разрыва 5 величины gL)t и glXjX меняются непрерывно, но вторые производные gm,кц (а следовательно, тензор Римана) могут изменяться скачком. Пусть гиперповерхность разрыва по-прежнему задана выражением (3.3). Аналогично тому как мы в случае скалярного поля доказали (см. (3.7)), что А[Ф,ар]=Чгиащу где и^ди/дх* — гради-