Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если H1— собственное инвариантное подпространство в Н, то по утверждению 1 Hj- также инвариантно и H = H1 @ Hj-. Если H1 или Hj- содержит собственное инвариантное подпространство, то мы снова используем утверждение 1 до тех пор, пока не получим разложение на неприводимые инвариантные подпространства при условии, что этот процесс имеет конец (что имеет место в конечномерном случае).
Следующее утверждение существенно для теории представлений групп.
утверждение 3 (Лемма Шура). Пусть TuT'- унитарные неприводимые представления группы GeHuH' соответственно. Если S — ограниченный линейный оператор из H в H', такой, что
STX = T'XS для каждого x?G, (5)
то или S — изоморфизм гильбертовых пространств HuH' (т. е. T ^ T'), или S = 0.
Доказательство. Сопряжение соотношения (5) дает TS* = = S*T'. Поэтому положительно определенный эрмитов оператор V = S*S коммутирует с Т.
Если V=J ^dE (X) — спектральное разложение оператора V, то ТЕ (X) = E (к)Т. Следовательно, каждое замкнутое подпространство H (X) = E (X) H инвариантно. Так как H неприводимо, то H (X) совпадает с H или с нулевым пространством {0}. Это предполагает, что V = X/. Подобным образом получаем, что V' = = SS* = Х7'. Так как IS = SS*S = X'S, то или X = X', если S ф 0, или S=Ob противном случае. В первом случае, поло-Представления групп
179
жив U = получаем U*U = I и UU* = /'. Поэтому S —
изоморфизм пространств Я и Я' и, согласно определению 2.1, имеем T ~ 7".
Лемма Шура 3 предполагает следующий критерий неприводимости.
утверждение 4 (Лемма Шура — унитарный случай). Унитарное представление T группы G в Ii неприводимо тогда и только тогда, когда единственными операторами, коммутирующими со всеми Tx, являются операторы, кратные единичному оператору.
Доказательство. Если STx = TxS, то S*TX = TxS*. Поэтому самосопряженные операторы S1 = (S -f- S*)l2 и S2 = (S —
— S*)/2i также коммутируют со всеми Tx. Следовательно, по утверждению 3 S = X1I -f X2I = XI. Обратно, если каждый оператор S, коммутирующий с Т, имеет вид XI, то проективный оператор Р, коммутирующий с Т, совпадает с / или 0. Поэтому, согласно утверждению 1.2°, единственными замкнутыми инвариантными подпространствами являются нулевое пространство или все пространство Н. Следовательно, T неприводимо.
Результат утверждения 4 позволяет дать новое определение неприводимости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2'. Унитарное представление T группы G в H неприводимо, если единственными операторами, коммутирующими со всеми Tx, являются операторы, кратные единичному оператору. Эта формулировка неприводимости называется операторной неприводимостью представления Т.
Утверждение 4 имеет следующий аналог для конечномерных (унитарных или нет) представлений.
Утверждение 5. (Лемма Шура — конечномерный случай). Пусть T — неприводимое представление группы GeH, dim H <оо. Единственными операторами, коммутирующими со всеми Txy являются операторы, кратные единичному оператору.
Доказательство. Пусть
STx = TxS для всех XQG, (6)
и пусть N = \и Q Н: Su = 0|. В силу (6) мы имеем
{01 = 7,S/V = S7a,V.
Следовательно, Tx N с N, т. е. N — инвариантное подпространство в Я. Поскольку T неприводимо, то N равно {0} или Я. Поэтому S является изоморфизмом или S = O. Теперь пусть S — любой изоморфизм, который коммутирует со всеми Tx, и пусть X -j= 0 — собственное значение изоморфизма S. Ясно, что (S —
— XI) не является изоморфизмом на Я, поэтому (S — XI) = 0.180
Г лава 5
Приводимые представления
Существует полезная классификация приводимых представлений, согласованная со свойствами центра CR (T, Т) алгебры R (Т, Т) переплетающих операторов. Мы начнем со случая, когда CR (Т, Т) минимален.
Определение 4. Представление T группы G является фактор-представлением, если центр алгебры R (Т, Т) содержит только кратные единичного оператора. Представления этого типа называют примарными представлениями.
Ясно, что неприводимое представление является фактор-представлением. Следующее утверждение дает интересную особенность фактор-представлений.
Утверждение 6. Пусть T — фактор-представление, которое содержит неприводимое подпредставление V- Тогда существует целое число п, п = /, 2, 3, ..., такое, что T nV = V© V® (V) Vff)... ff) V (n слагаемых).
(Доказательство см., например, в [682], утверждение 6.14.)
Этот результат предполагает следующее определение так на-зьваемых фактор-представлений типа I.
Определение 5. Если фактор-представление содержит неприводимое подпредставление, то говорят, что оно типа I. Группа G является группой типа /, если она имеет фактор-представления только типа I.
В этой книге мы будем иметь дело исключительно с фактор-представлениями типа I. Фактор-представления типа I появляются наиболее часто в применениях в задачах редукции тензорных произведений представлений. Тогда нам нужны дополнительные инвариантные операторы (квантовые числа), чтобы разделить факторы пТ» на неприводимые части. Мы имеем дело с этим в § 5 и в гл. 18, § 2.
Другой интересный класс представлений получаем в случае, когда центо алгебры R (Т, Т) наибольший, т. е. если он совпадает со всей R (Т, Т).