Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Это определение можно дословно перенести на случай функций от большего числа переменных. Другими словами, если, например, в определении интеграла I функцию д(х,у) заменить на функцию д(х) = д(х при п > 2, а области D, D\,..., Dt считать п-
мерными, то поскольку измеримость по Жордану была определена при любом п > 1, мы тем самым получим определение п - кратного интеграла по области D С Mn, измеримой по Жордану. Для этого интеграла введем следующее обозначение:
I = J • ¦ ¦ J g(xi,.. .txn)dxi .. .dxn = J • • • J g(x)dp.
D D
Точные определения для общего случая переписывать не будем. Нас будут в основном интересовать случаи n = 2,3. В этих случаях интеграл I обычно записывают так:
Jjg(x}y)dS, I = jIJд(х, у,z)dV,
/ = ,
" D D
Отметим, что все факты, доказанные ранее для случая п = 2, без принципиальных изменений в доказательстве переносятся на общий случай п > 2. Укажем только, что сюда относятся и критерий
интегрируемости функции в разных формах, и свойства I0--7°
двойного интеграла.
Приведем формулировку теоремы о сведении n-кратного интеграла к (п — 1)-кратному интегралу. Ограничимся случаем п = 3.
Теорема 1. aj Пусть существует тройной интеграл А от функции д{х, у, z) по параллелепипеду P = I\ х I2 х 1$. Пусть также существует двойной интеграл h(x) по прямоугольнику Q = I2 х I3, т.е. интеграл h(x) =Jf g(x,y,z)dydz. Тогда функция h(x) является
Q
интегрируемой на отрезке 1\ и справедливо равенство
= J h{x)da
A =
h
568б) Пусть D C P = Ii X 12 X I3 и пусть при фиксированном х Є Ii символ D(x) обозначает собой измеримую по Жордану область точек (y,z) eh X ІЗ с условием (х, у, z) ED (то есть D(x) является пересечением множества D с плоскостью, состоящей из точек, у которых первая координата фиксирована и равна х). Пусть также при всяком таком х существует интеграл
h{x) = JJ g(x,y,z)dydz.
D(x)
Тогда имеем
Jh(x)di
h
При фиксированном х, применяя аналогичную теорему к двойному интегралу h(x), получим
ь2
h(x) = j dy J g(x,y,z)dz,
аз D( х,у)
где множество D(x, у) является пересечением множества D с плоскостью X = const, у = const.
Пример 1. Найти значение величины интеграла
I- J" J Kx^ :--fixn)dxi ¦ -dxn,
D
где область D определяется условиями
D = {(яі,..., ж„)|0 < Xi < •¦• < хп < 1}.
Обозначим через Da область
Da = {(xi,.. .,zn)|0 < XaiI) < < xa[n) < 1},
отвечающую перестановке <т чисел 1,...,п.
Для различных перестановок <т и т области Da и Dt не пересекаются. Далее, интеграл 1(<т), отвечающий области интегрирования Da, от той же самой функции f(xi) ... f(xn) будет равен I. Количество перестановок п чисел равно п!. Следовательно,
n\I = Y,}°= /¦" / f(xi)--f(xn)dxi...dxn= (j /(aOcfcj . ° о о Vo
569Таким образом мы свели вычисление n-кратного интеграла к однократному и получили формулу
п
Пример 2. Докажем следующую формулу Дирихле - Лиувилля. Пусть /(ж) непрерывна на отрезке [0,1] и пусть S есть симплекс в n-мерном пространстве, определяемый условиями Х\ + ¦ • • + хп < 1, x1 > 0,...,37 п > 0. Тогда имеем
J = Jn(pi>---,pn) = J--J /(zi + --- + ^)**1'1 .¦•xpnn~1dxi...dxn =
s *
Г(рі 4-----H Pn) J v }
о
Действительно, положим A = xi + • • • + жп_2• Расставим пределы интегрирования в интеграле J. Тогда два последних интеграла по переменным жп_і и хп будут иметь вид
1-А I — "> —^n- 1
= J dxn_i J f(X + xn-i + xn)x^-^lx^~ldxn.
1-Х 1-Л-Гп_1
H
о о
Сделаем во внутреннем интеграле замену переменной вида
i-v
xn — xn^i
v
Тогда
жп_1 Xn-idv
v~ ---, dxn -----
xn-i +xn vі
и интеграл H принимает вид
1-А 1
H=J dxn-i J f(X + ^)хрпГ11+Рп'1(\ - vf^v-^-'dv.
О Jn-1
1-А
Поменяв порядок интегрирования в Я, получим
1 '«(1-А)
H = Jdv J /(А + - t»)"*-1^--1Jxn-I.
570Сделаем еще одну замену переменной вида Xn-I — vi. Имеем
1 1-А
H = Ji 1V"»-1 А/ J /(А 4- t)tpn-1+Fn~1dt =
о о
1-А
= В(рп-ирп) J /(А + t)tpn~1+p'l~1dt.
о
Отсюда получим следующую рекуррентную формулу:
J = J„(pu . . .,Pn) = B(Pn-I1Pn)Jn-і(рь • • ¦ ,Рп-2,Рп-1 +Рп), из которой имеем
J = ?(рп-1,рп)В(рп-2,Рп-1 +Рп)Я(Р1,Р2+ ••+Рп)Л(Р1 +----1-Рп) =
г(Р1)...гы г
г(рі+ - +Рп); ^v'
о
Таким образом, формула Дирихле - Лиувилля доказана. В частности, следствием этой формулы является выражение для объема n-мерного шара, заданного соотношением х\ + ¦-.- + < а2. Ввиду симметрии шара относительно гиперплоскостей хк = О, к = 1,...,п, можно ограничиться вычислением объема области К, части шара, определяемой так:
+ ••¦ + *« <«2,*і >0,...,х„ >0,
при этом объем ее будет в 2" раз меньше объема шара V. Имеем
V = 2 nJ-J dxi...dxn. к
После замены переменных a«i = х\,..., аип = область К перейдет в симплекс S, определенный выше, и поскольку dxk = f^j^, к = 1,... ,п, получим
J J у/щ ... Un
s
Последний интеграл есть интеграл Дирихле - Лиувилля при
/(U1,.-..,Un) = l,pi = ¦ -=рп = 571Следовательно, объем n-мерного шара радиуса а равен г7п , ts а".