Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к общему определению несобственного интеграла.
588 Определение 1. 1) Число I называется несобственным двойным интегралом первого рода от функции д(х, у) по неограниченной области D, если для любой последовательности областей Dn, являющихся ограниченными, открытыми, связными, измеримыми по Жордану, и удовлетворяющих следующим условиям:
а) для любого натурального числа п имеем Dn С DnJr і С D (условие монотонности);
oo
б) U Dn — D (условие исчерпывания),/newline имеет место соот-
п = 1
ношение Iim In = I, где In — ff g(x,y)dp.
Tl OO j-s
D U
2) Число I называется несобственным двойным интегралом второго рода от неограниченной функции д{х,у) по ограниченной измеримой по Жордану области D со множеством особых точек LcD (D - замыкание D), если для любой последовательности областей Dn, являющихся открытыми, связными, измеримыми по Жордану, и удовлетворяющих следующим условиям:
а) для любого натурального числа п имеем Dn С on+i С O (условие монотонности);
OO
б) U Dn = D (условие исчерпывания);
п —1
в) L П Dn = 0, имеет место соотношение Iim In = /, где
П —> OO
^n = / / !/Не-
последовательность {І?«} в определении несобственных интегралов первого и второго рода будем называть допустимыми (или D -допустимыми).
Замечания. 1. Ясно, что для существования несобственного интеграла второго рода необходимо, чтобы p(L) = О,
2. В обоих случаях несобственного интеграла первого и второго рода мы сохраняем стандартное обозначение I — ff g(x,y)dp.
D
3. Точно такое же определение несобственного кратного интеграла имеет место и в случае кратности, большей двух.
Теоремаї. Пусть д(х,у) > 0. Тогда для сходимости
несобственного интеграла I = ff g(x,y)dp необходимо и достаточно,
D
чтобы числовое множество [In = ff g(x,y)dp} было ограничено хотя
Dn
бы для одной последовательности D-допустимых множеств Dn.
Доказательство. Необходимость. Если интеграл / существует, то последовательность интегралов In сходится к I.
589 Следовательно, последовательность {In} ограничена. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть {/„} ограничена. Тогда по теореме Вейер-штрасса существует предел Iq = lim In, где Iq = sup In ¦
tl —> OO
Пусть — другая D-допустимая последовательность и In =
ff g(x>y)dxdy — соответствующая ей последовательность интегралов. D'
/
Зафиксируем теперь некоторое множество Dm и рассмотрим последовательность Dn = Dm П Dn.
Очевидно, последовательность {?>„} является Dm - допустимой. В
и и оо а і
частности, для любого п имеем Dn С Dn+i1 U Dri = Dm, и все
п = 1
множества Dn являются открытыми, связными и измеримыми по Жордану.
Для дальнейшего будет необходима следующая лемма 1, имеющая и самостоятельный интерес.
Лемма! (лемма об исчерпывании). Справедливы соотношения: Hm p(Dn) = P(Dm)1 lim p(Dm \ Dn) = 0.
tl—ЮО П—ЮО
il
Доказательство. Последовательность pn = p(Dn) неубывающая и ограничена сверху числом (Jl(Drn). Следовательно, существует число ро = Iim рП) причем ро < ?(Dm).
П—?00
Надо доказать, что ро = p(Dm). Рассмотрим замыкание Dm множества Dm, то есть множество Dm — Dm U dDm. Так как множество Dm измеримо, то p(dDm) = 0. Следовательно, для любого є > О существует открытое простейшее множество W = We Є П такое, что p(W) < е,3D CW.
Множество Dm — компакт, а множества {Dn},n= 1,2,..., и W образуют его покрытие открытыми множествами. Из этого покрытия
- I и
можно выделить конечное подпокрытие множества Dm : Dni C-C Dflk и W. Отсюда имеем Dnk U WD Dm. Следовательно,
P(Dnk)+ p(W) > P(Dm)1 Pnk+е> P(Dm)1 т.е. для любого є > 0 справедливо неравенство
Po + Є > Pnk +Є > P(Dm).
Поэтому имеем ро > p(Dm). Но мы уже показали, что ро < I1(Dm)-Таким образом, получаем, что /io — p{Dm).
590 Далее, в силу того что (Dm \ Dn) U Dn = Dm и (D'm \ Dn) П Dn = 0, из свойства аддитивности меры имеем
H(Dm\D^) +H(Dn)=H(Dm). Следовательно, Iim ні^'т \~ Лемма 1 доказана.
п-+оо
Следствие. Пусть выполнены условия леммы 1. Пусть также д(х, у) интегрируема на Dm. Тогда имеет место равенство
Jimj У J g(x,y)dxdy= J Jg(x,y)dxdy = Im. К dL
ft TR
Доказательство. В силу свойства аддитивности интеграла имеем
!т- J j g(x>y)dxdy= J J g(x,y)dxdy. К D'\K
н m * n
Поскольку функция д(х,у) ограничена еа Dm, т.е. существует число с > О такое, что для любой точки (х,у) Є Dm имеем < с, при
п оо получим
\C-J Jg(x,y)dxdy\<cH(Dm\Dn)^Q.
D"
Следствие доказано.
Завершим теперь доказательство теоремы 1. Так как Dn С Dn, то справедливо неравенство
//
D"
g(x,y)dn < In < I0.
Перейдем в этом неравенстве к пределу при п -Ч- оо. Используя следствие, получим
Im = Iim / / g(x,y)dn < Iq.
J J
D"
Отсюда имеем, что существует I ~ lim Im, причем I < I0. Но
т-+оо
если теперь в наших рассуждениях последовательности Dn и Dn поменять местами, то получим противоположное неравенство Iq < I . Следовательно, I = I0. Теорема 1 доказана.
591 Теорема 2. Пусть функции д(х, у) и до{х,у) интегрируемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве D, и пусть на этом множестве D справедливы неравенства О < < Тогда имеем:
