Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
3. Нерастяжимая во всех направлениях об<ь>
' м
л очка. Так как вектор <f0 - произвольный, тв этом случае, п<? существу,
наложена не одна, а бесконечное количество-связей;-Поэтому тензор усилий
остается полностью неопределенным, bj то время как тензор моментов вполне
определяется деформа-f дией;-
v = Л, р = Ст- ? (Вх*)-С. (6.35)>
IV IV IV IV IV
Здесь.-Л - принадлежащей поверхности О тензор второго!
ранга. Первый 'аргумент у оператора Y опущен, так как он в* данном случае
постоянный: Gxt = g. * J
Л1 ~ ^
4. Оболочка, сохраняющая'среднюю иривизнУ: ,а v----------------2Л В +
Ст? Ф (Gxt, Bxt) • С, (636) ?
л/ Л/ Л/ AI #IV IV
. . р"-АО + СМГ(О*,,0я)-С. ' "
IV л"
i. . *
Неузгибаем&я в заданном направление оболочка:
v= ~ 2A(d-B-d)(d-d)-2dd+ Ст-Ф(0й4 Bxt)C, (6.37)
^ *v Л/ М (V A#
р= - Л (d-Л)-1 d d + СТ.W (Gxl, Bxt)-C; d - do*C.
*
'Оболочка, нерастяжимая и неизгибаемая в любом направлении, допускает
только жесткие перемещения, т. е. представляет собой абсолютно твердое
тело. В этом случае й тензор усилий, и тензор моментов остаются
неопределенными.
В работах [17, 52, 63] изложены другие подходы к построению механики
двумерного континуума. В основу этих рассмотрений положены понятия
поверхностей Коссера и оснащенных поверхностей.
Ш
НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК § 1. Уравнения
динамики оболочки в лагранжевых координатах .
Замкнутую "систему уравнений, описывающих движение упругой оболочки,
относительно компонент вектора перемещений можно получить следующим
образом. Возьмем за основу уравнения равновесия с учетом сил инерции в
форме (2.42) главы IV. Так как эти уравнения спроектированы на
недеформированные
оси ра, П, инерционную составляющую внешней нагрузки следует
спроектировать на векторы того же базиса. Так как векто-' -*•
ры ра, п ие зависят от времени, соотношение а = и, где а -; -> . вектор
ускорения, и - вектор перемещения, очевидно, эквивалентно формулам _
0 _ d3u" °п д2и
а" = --, " --; (1.1)
. . dt3 dt3 J
о о О -*•-> о
а? = а-р%, а = а*п, ua = u-p", u = u-n.
Компоненты тензоров убйлий и моментов v"p, выражаются с помощью
определяющих соотношений через Gap, Bap. Последние величины выражаются
через составляющие вектора перемещений u", fu по-, формулам (2.'23),
(2.36) главы III. Подставляя указанные соотношения в уравнения 'движения
(2.42) главы IV, придем к системе трех нелинейных дифференциальных
уравнений относительно трех функций, координат qa H времени:
и", и. Эта система уравнений динамики оболочки в перемещениях весьма
?ромоздка, что обусловлено, в частности, сложностью представления величин
Вар через компоненты вектора перемещения. ¦
Можно предложить другой способ составления уравнений динамики оболочки,
приводящий к менее сложным и громозд-"
Ш
ким уравнениям [24]. Будем исходить из уравнений равновесия в форме
(2.26) главы IV:
Vo (v"p-Ц"т BP) - BP Vo t*"T + FP = р' a? f
V" VP + Bop (v"P - B" |iiP) + F = p'a, fl.2)
F =* FP Pp + FN, a = aP Pp -f- aN.
Входящие в выражения ковариантных производных символы Кристоффеля
деформированной поверхности О связаны с коэффициентами первой
квадратичной формы формулой ,
G-T
./ йОв- , dOXT . dGSx \
I -&•*+ -=L-----------------М • ' (1-3)
V dq* dqB dq' J
Будем рассматривать оболочки, физические свейства которых задаются
определяющими уравнениями "кого вида:
V*P = фор (vtP, р,тг*. GT8, ВТ8, Gt?, вт*)" (1.4)
(Д-р = Ф"Р (vT", рл", GT*. BTs, G T*, BTs).
ч <"*
Здесь точка, как ip-прежде, означает материальную производную по времени.
ГТравые части соотношений (1.4) могут параметрически зависеть от
некоторых постоянных тензоров, задающих анизотропию свойств оболочки.
Соотношениями (1.4) можно описать поведение оболочек из материалов,
обладающих упруговязкопластическими свойствами. Для упругих рболочек
определяющие соотношения имеют более простой вид:
v"P = ф°Р (GTs, BTs), . (1.5)
ГР = W"Pv(GT-s, Вт8),
- •
->¦ ->
Учитывая, что векторный базис Pa, N зависит от времени,
н дифференцируя вектор скорости v=v°T>a + wN, найдем представление
вектора ускорения через компоненты векторного поля скоростей в
лагранжевом базисе деформированной поверхности:
аа = v" + vp (vp v" - В" w) - w (GP" vp w -f B" v^),
a = w + v* (v" w + B"p vP). • (1.6)
ill
'¦ Вектор перемещения точки поверхности представим в виде разложения по
базису отсчетной конфигурации:
u = u" pi + un. ^ (1.7)
Из очевидного соотношения v=u можно получить следующее представление
составляющих вектора скорости в подвиж- =
'
ном базисе Ра, N через составляющие вектора перемещения в ¦ :
-> -> ,гг
неподвижном базисе ра, п:
- l(gp7 + Vr)(u Т)' + (?)' Ъ (1-8) €
w==I^/"{(u*) gpir<pQT(f^- J,g"p) + (u) (Ji + 1г)Ь J
* о о ' оо оо о f
f"P - gPT V" UT - b"pu, q"p - V? U + bpjUT , \
l, = i+rt,|! = !ak^,i2=c/g. . f
gng32 -gla ^
Здесь Va - символ ковариантной производной на недефор- f мированной
поверхности о.: ' ^
Плотность деформированной оболочки выражается через' плотность в
