Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
отсчетной конфигурации формулой ¦ .
' Р'^Ро1!-1'2- V ' (1.9)
Из формул (3.8), (3.10), (3.22) Главы III вытекают следующие
представления скоростей изменения коэффициентов квадра-- тичных форм
деформирующейся поверхности, через составляю- f щие вектора скорости:
Оар = GpT v" VT GaT Vp V"'- 2B"pW, i
s*
Вер = v"(vp % + BpT vT) + B"T (vp VT - Bj( w). (1.10)
Соотношения (1.2)-(1.4), (1.6), (1.8)-(1.10) образуют полную систему
уравнений относительно функций v(r), w, v"P, р"Р,
о о
Gap, В"р, и(r), и. Начальные условия состоят в заданий полей v(r),
о - 4
w, v"P, р"Р, u(r), и при t=0. Начальные значения функций Gap, ВвР
..определяются через начальные значения перемещений по формулам (2.33),
(2.36).главы III.
т
*••• а-"
Для упруги* оболочек неизвестные р"р, v"p исключаются с -помощью
определяющих соотношений (1.5).
Если отвлечься от уравнений (1.8), то можно заметить, что компоненты
перемещения участвуют в указанной системе уравнений только тогда, когда
составляющие внешних нагрузок F", F зависят от перемещений (или их
производных по координатам). Эта зависимость отсутствует, например, в
практически важном случае нормального к поверхности О давления,
заданного' как функция лаграижевых координат и времени.
С помощью формул (2.14) главы III силовые граничные условия (5.7)-(5.9)
главы IV можно записать в таком виде:
l/"irm.(v"?-2Bpn") = e(LP~Bpd"), (1Л'1)~ }/~h шр V" Р"р+ - Ь 6-2 nip G"x
|Aap] =
qs 4
'=6L + i(Hfd.),
os . :
|/" Ig me mp '|*"S = епь d" ,
LP = L-PP , L =T-N, da =-d-Fa .
Из (1.1 J) видно, что если составляющие контурных нагрузок La, L, da не-
зависят от перемещений контура, то функции.
о о
u(r), и не фигурируют в силовых граничных условиях:
Если хотя бы на части граничного контура оболочки заданы перемещения, то
последние, вообще говоря, нельзя исключить из системы уравнений. "
, Однако если эта часть границы неподвижно закреплена, то
* о о
условия ua=u=0, очевидно, можно заменить условиями на скорости v(r)=w=0.
Таким образом, во многих практических' задачах (например, нагруженная
нормальным давлением оболочка, часть края которой защемлена -или
шарнирно,оперта, а остальная свободна от нагрузок) компоненты перемещения
не входят ни в дифференциальные уравнения, ни в граничные условия. В этих
случаях полная система уравнений состоит из соотношений (1.2)-(1.4),
(1.6), (1.9), (1.10) и содержит в качестве неизвестных функций v", w,
Gap, Bap, v"p, pap, причем для упругих оболочек неизвестнее v(r)p, р(r)р
легко исключаются.
В тех случаях, когда полная система уравнений и граничных
условий, описывающих движение оболочки, не содержит перемещений, задача
определения последних возникает на конечном этапе, после нахождения
величин v"p, р"Р, Gag, Влр, v", w как функций координат и времени.
Заметим, что знание величин •Vе, w не позволяет непосредственно
определить вектор скорости,
так как векторы 'базиса Pa, N неизвестны. В [24] указан способ их
определения по известным величинам Gap, Bap, v", w.
Рассмотрим еще один вариант уравнений динамики оболочек, который, можно
применять в случаях, когда поверхностные и контурные внешние цагрузки не
зависят от самого вектора пере-
мещений ц, но зависят от градиента деформации поверхно- ¦
оти VP- Точнее говоря, интенсивность поверхностной F или кон- : ->¦ г *
турной L силы в данной точке поверхности задана как функция градиента
деформации в этой точке и времени. Как показано в-§ 2 главы III, градиент
деформации выражается через коэффи-> циенты первой квадратичной формы
поверхности и компоненты
' -V . ¦%
в базисе pa, п вектора конечного поворота 0. Кроме того, ко-j
эффициенты второй квадратичной формы Вар можно выразит#
' i
через Gap*, составляющие вектора 0 и его производные по координатам
(формула (2.62) главы III). Это позволяет для упругих •оболочек/
составить систему уравнений относительно коэффициентов первой
квадратичной формы, компонент вектора конечного! 'поворота и составляющих
вектора скорости v", w. Эта система'" -отличается от описанной выше чтем;
что второе из уравнений* (1.10) отбрасывается, а вместо него вводится
уравнение (3.37)
главы III, связывающее вектор конечного поворота 0 со скоро стями v", w.
Для упруговязкопластических оболочек в- числе неизвестных входят также
тензоры. vap, p,ap.. '
?
§ 2. Описание конечных деформаций оболочек I
с помощью координат отсчетной \
и текущей конфигураций •
Предположим, что срединная поверхность о оболочки в отсчетной
конфигурации (недеформированном состоянии) одно-! значно проектируется на
некоторую плоскость я, и зададим по--ложение поверхности о возвышением у
(х")" точки поверхности над плоскостью. Здесь ха (а=1, 2,)-произвольные
координаты
на плоскости я. Для радиуса-вектора точки на о имеем р =?=
=*.р + уп, где р - радиус-вектор точки плоскости, п -нормаль' " плоскости
п. Здесь и в дальнейшем горизонтальной* чертой сверху обозначаются
величины на плоскости. Для порождаемого координатами х" векторного базиса
