Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
* X*- ~ г' (х"), У*=А (х" ), -р (х" ); (2?>
I"
для второй оболочки- • ..
X"' = Ф"' (?" ), Y = В (?" >, а (?• ). (2.7)
Функции, задающие обратное преобразование (от эйлеровых координат к
лаграНжевым), обозначим Ф" и : х"=Фа(Ха'),: (Х"'). Для определения восьми
неизвестных (2.6), (2.7) помимо шести уравнений равновесия (по три для
каждой оболочки ) служат два условия контакта. Первое из них выражает тот
факт, что в области контакта обе оболочки лежат на одной поверхности в
пространстве, т. е. возвышение Y- одна и та же ' функция эйЛеровых
координат для обеих оболочек:
А [Ф- (X"'j] = В [V* (X"')J- ]
+ i
Второе условие контакта выражает принцип.действия и про- * тиводейетвия
р[Фа(Х"')] =-<т[ЧГа(Ха')]. j
Таким образом, в постановке контактной задачи для двух f оболочек кроме
нелинейных дифференциальных операторов урав>- \ нений равновесия
участвует операция обращения неизвестной;; функциональной зависимости.
" '¦
В качестве опорных поверхностей для отсчетной и деформи-.^ рованной
конфигураций оболочки не обязательно использовать Jj плоскости. Если
поверхность О однозначно проектируется на не- j которую фиксированную
поверхность П, то положение точки | на О можно задать функцией Y (Х"'),
где Y - расстояние от по-1 верхности П, отсчитанное по нормали к ней, Х"'
- некоторые j координаты на П. Формулы, обобщающие (2.4) на случай, когда
1 П - произвольная гладкая поверхность, а поверхность О отне- J сена к
координатам х", имеют вид ? -
А Р" = Р0 + Y,"N-YBPPP, ' (2:8):
х (sign Д).N = V G/G [AN - (Y," - 2YHY, а + ЩУ, р)Р"],
Gnp = (1 - Y2 К) G"p - 2Y (1 - YHjUp + Y,. Y"p,
А = (1 - 2YH + Y3 К), G/G = A2 + L"PY,"Y,p,
- * *
G"P=f J (L"P + е°т е*Р Y, т Y, *),
L"p = (l - Y*К - 4YH + 4Y2 Н2) & + 2Y (1 - YH) В&,.
(sign Д) В.р=-1[Y "р - Г* Y." + (1 - 2YH) В.р + YKG"p|,
134
Г"р = -j- G1*8 (Ga",p + Gp8," - G.p,").
Здесь Ti, К - соответственно средняя и гауСсова кривизны поверхности П,
eva - компоненты дискриминантного- тензора
на П. Участвующие в (2.8) величины Gap, Bap и т. д. выражаются по
формулам тензорных преобразований (2.5) через соответствующие величины со
штрихованными индексами. Последние есть известные функции эйлеровых
координат Х"\ Вид этих функций определяется выбором поверхности П и
способом введения координат Ха' на П. Например. Ва/р' - коэффициенты
второй квадратичной формы поверхности П, отнесенной к координатам Х"'.
Формулы для отсчетной конфигурации оболочки с некоторой опорной
поверхностью я, на которой введены лагранжевы координаты х", получаются
из (2.8) при Д > 0 и заменой прописных .букв на-строчные.
Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой в от- * счетной
конфигурации есть поверхность вращения.-
В качестве опорной поверхности для отсчетной и деформированной
конфигураций оболочки возьмем круговой цилиндр радиуса г. За лагранжевы
(эйлеровы) координаты примем расстояние, отсчитываемое по оси цилиндра
х*=х (Х*'=Х) и угло-*вую координату х2=Ф (Х2'=0). Таким образом, X" в
есть координаты на опорном цилиндре проекции той точки срединной по- .
'
верхности деформированной оболочки, проекция которой в отсчетной
конфигурации имела координаты х, ¦&. Как принято выше, через у и Y
обозначим расстояние точки 'поверхности оболочки от опорного цилиндра
соответственно в отсчетной и деформированной конфигурациях.
Рассмотрим деформацию оболочки, задаваемую соотношениями
Х=Х(х), Y=Y(х), e=6 + Y.(x). (2.9). -
Формулы (2.9) описывают деформацию кручения оболочки вращения,
сопровождаемую осесимметричным изгибом. При этом деформированная
срединная поверхность остается поверхностью вращения. Для отсчетной
конфигурации оболочки имеем
ВН -1+/*" gl2=0, g22=y2r btt- ^ i , 0, bj2 = • (2.10),
v 1+y'* Vl+y'1
ш
Здесь и далее штрих означает дифференцирование по координате х.
- Для коэффициентов квадратичных форм и символов Кри-стоффеля
деформированной оболочки, отнесенной к координатам х, ¦&, по формулам
(2.8) получим
G" -D~2, G"=Y-2 + D-V2, G12 = -DV, DX'2 + Y'2; B"=D-i (-X"Y' + X'Y"-
YX'v'2), Bi2 = - D-*YXV;
B22 = -D-*YX/;
Th " D"21- v' X' X" - v' Y' (Y" - Yv' *)J, r22 = - D~2 YYf; Щ
средственно для случая r=u, в окончательных выражениях мож-^ но положить
r=i=G, что и сделано в (2.-10), (2.11).,
В случае, когда А=Х' С 0, соотношения (2,9) задают ; формацию кручения и
осесимметричного изгиба вывернутой ь изианку оболочки вращения. "
Из определяющих соотношений- (4.19) главы IV и форм (2.10), (2.11)
вытекает, что для изотропной однородной (и неоднородной. по координате х)
оболочки компоненты тензор усилий и моментов, v"p, рар зависят лишь от
координаты х. Т ' как символы Кристоффеля деформированной оболочки также
завися/от координаты О, видим, что система уравнений рави веейя (2.26)
главы IV превращается в систему трех обыкнове ных дифференциальных
уравнений относительно функций Y, V. Разумеется, при этом компоненты
внешней нагрузки Fp, могут зависеть-лишь от координаты х. В противном
случае I формация вида (2.9) нереализуема. . •
