Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
л о ч к а. Уравнение связи имеет вид (6.24), где теперь d0-r- любой
единичный вектор. Для нерастяжимой оболочки метрика при деформации не
меняется, т. е, допустимыми деформациями являются лишь изгибания
поверхности.
4. Оболочка, для которой средняя кривизна поверхности сохраняется при
деформации. Эта связь задается таким уравнением:
tr(B - b) = tr(Bx-G*Tl - b) -0. •' (6.26)
Л/ #4/ ^ /V" Г%/ ^ <*
5.'Неизгибаемая в заданном направлении оболочка. Под этой связью будем
понимать сохранение нор-.мальНой крнвизцы поверхности О в направлении
кривой, прообраз которой в отсчетной конфигурации имеет касательным век-
-*¦
юром заданный единичный вектор d0.. Уравнение связи в этом случае
запишется так:
(6.23)
направлении
Ш
do-Kdo-.G'-do)-^ - b]-d0 = 0.
IV #ч/ /у
(6.27>;
Для оболочек со связями определяющие соотношения (6.15) нуждаются в
модификации. При наличии связей уже недьзя считать, что тензоры усилий и
моментов в данной чйстице поверхности оболочки полностью определяются
заданием предыстории -тензоров С й D в этой частице. В самом деле,
рассмотрим, на-
л;
пример, плоскую пластинку, нерастяжимую во всех направлениях и
нагруженную силами, расположенными в плоскости пла-Л •стинки. Возникающий
при этом в пластинке тензор усилий в за-" висимости от приложенных сил
может принимать произвольные" значения, в то время как деформация
отсутствует в силу условия нерастяжимости. ' \
Сначала рассмотрим гиперупругие оболочки с внутренними* связями. Согласно
(6.5), (6.6), имеем 3
-*•
°ВХ=0. * (6.28)1
В силу уравнения связи (6.23) тензоры G* и Вх теперь не
#У "V
могут принимать любые значения, и поэтому представления (6.7)'
несправедливы. Чтобы учесть наложенную свиязь, воспользуемся методом
множителей Лагранжа. Продифференцируем урав-' нение связи (6.23) по
времени, умножим его на неопределенный, множитель -А и сложим полученное
уравнение с (6.28). Стан^ дартные рассуждения метода множителей Лагранжа
приводят-к таким, определяющим соотношениям гиперупругой - оболочка^ с
внутренней связью: - ' г
¦ 'tV>
- ' ~ s ~ (6.29)
Из (6.29) получим - '
v = 2i/~]TcT.w' _ •C + 2ACt.<p,Gx-C, Л = J/^g/CX; | ~ ч F О ~ '~ ~
~ ~
- ** " \f СТ- W'x -С + ACT- <р'Вх*С. ¦ (6.30) f
Г . О л" >D г* ~ е" .i.
. Л/ -
111 \
. Слагаемые с множителем А в (6.30) представляют собой составляющие
тензоров усилий и моментов, не определяемые деформацией окрестности
рассматриваемой точки поверхности. .Их следует трактовать" как реакцию
связи, задаваемой уравнением
(6.23). Эти составляющие не вносят вклада в мощность внутренних сил
оболочки, т. е. не совершают работы иа движениях оболочки, совместимых со
связями. Последнее утверждение становится очевидным, если учесть, что
уравнение связи (6.23,) эквивалентно следующему:
2 (Ст-?1 Gx 'С) ° е + (CT-<p5gx-C) о ж = 0. '(6.31)
Здесь использованы'формулы (3.10), (3.22) главы III.
Легко проверяется также обратное утверждение: если тензо-i ры усилий и
моментов не вносят вклада в мощность внутренних сид на движениях,
совместимых со связями, то они имеют вид вторых слагаемых в (6.30).
Представления (6.30) естественным путем обобщаются на оболочки с памятью.
Именно, примем, что в оболочке с памятью при наличии внутренних связей
тензоры усилий и моментов в точке Поверхности оболочки определяются
предысторией деформации сколь угодно малой окрестности этой точки лищь с
точностью до слагаемых, не совершающих работы на движениях оболочки,
совместимых со связями. Таким образом, общее определяющее соотношение для
оболочки, подчиненной связи (6.23), имёет вид
' v == 2Л Ст*<р) qx -С + CT-(r)(Gxt, Bxt)*C,
~ л/ ~ ^ #ч/ ^
• !V=-AdT.<pjB* .C + CT-WtG^B^-C, (€.32)'
~ ^ Л/ #%/ гь,
где операторы ф, Ч'- операторы, определенные на предысториях мер
деформации, удовлетворяющих соотношению (6.23).
При наличии нескольких связей, задаваемых уравнениями
Ф*=0 (i=l, 2........п), первые слагаемые в (6.32) будут иметь,
соответственно, вид
При постановке краевых и начально-краевых задач для обо- -лочек со
связями множйтели Ai будут неизвестными функциями координат и врем'ени.
Этб^ избыток неизвестных компенсируется дополнительными уравнениями-
уравнениями связей".
2 A| GTr ср'5 q" • С;
¦4МН ~ fv ¦
1=1
Пользуясь формулами (6.32), составим общее представление определяющих
соотношений для оболочек со связями, заданными уравнениями (6.24)-(6.27).
1. Нерастяжимая в заданно'м направлении оболочка:
v = 2Л d d + Ст- Ф (Grt, Bxt) . С, (6.33)
г** /V /V Л/ ' л/
* " , • J
. ' 'р. = Ст" 1" (Gxt, Bxt) • С, d = d0-C. i
IV /V
Вектор d принадлежит поверхности О актуальной конфигура- *
щии оболочки. Его контравариантные компоненты в базисе Р<*? совпадают с
известными контравариантными компонентами век-1
тора do в базисе ра отсчетной конфигурации id = d"Pa, гд#
6(r) = do*pa. . *
2. Оболочка, хохраняющая площадь поверх.,
ностн:
v = 2AG + Ст-Ф(Gxt, Bxt).C, (6.34)?
, IV Af IV Af IV IV '*
_ .p = CT-"F(Gxt,B")-C. ^ ' 4
IV IV IV А/ IV
- * "I
