Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
256
>z W/
Pyl PJ
(18.9)
w w '
z у
Наибольшее растягивающее напряжение в точке С, а наибольшее сжимающее - в
точке А. Для них и записывают условие прочности (18.6).
Положение нейтральной оси определим исходя из зависимостей (18.3) и
(18.8).
Как видим, в общем случае, когда Jz*Jy, а*ср, т.е. нейтральная ось не
перпендикулярна плоскости нагружения.
Полное перемещение при косом изгибе определяется по принципу
независимости действия сил, как геометрическую сумму перемещений в
главных плоскостях.
Определим перемещение свободного конца балки. Воспользуемся способом
перемножения эпюр (рис. 18.4). Вертикальное перемещение
(18.10)
18.3 Определение перемещений при косом изгибе
Аналогично получим горизонтальное перемещение
Полное перемещение
(18.11)
257
А
/
/
/
/
/
/
Pyl
7
-
/
/
/
/
/
14
ю
(c) Р = 1
Рис.18.4
Направление полного перемещения определяется углом р (рис.18.5).
%Э = ¦ Y= ^J~t= *-т (18Л2)
fy Рг Jy COS9 Jy Jy
Формула (18.12) идентична формуле (18.10). Это позволяет сделать
заключение, что р = а, т.е. направление прогиба перпендикулярно
нейтральной оси, а следовательно, плоскость прогибов не совпадает с
плоскостью нагружения.
Угол отклонения плоскости прогибов от главной оси (угол р )
будет тем большим, чем большим будет отклонение -. Поэтому
Jy
для балок с упругим сечением, у которых отношение - велико,
Jy
косой изгиб опасен, т.к. вызывает большие прогибы в плоскости наименьшей
жесткости, а следовательно и большие напряжения.
Для балок у которых Jz=Jy, суммарный прогиб лежит в силовой плоскости и
косой изгиб невозможен.
258
18.4 Изгиб с растяжением
При совместном действии изгиба и растяжения (рис.18.6) в поперечном
сечении возникают нормальные напряжения, которые определяются согласно
принципу независимости действия сил (касательными напряжениями при этом
пренебрегаем) Напряжения в произвольной точке будут равны
У
J,
Для сечений, симметричных относительно напряжения в угловых точках будут
равны:
а=М
F W,
±^<[ст]
W"
(18.13) двух осей,
(18.14)
(18.15)
Если изгиб стержня происходит в одной из главных плоскостей, то в левой
части уравнения будет только два слагаемых - от растяжения и плоского
изгиба.
Условие прочности примет вид:
259
/
ч
ЩЦЩЩЦ
-pf-
z
JC
-> >
Рис.18.6
18.5 Внецентренное сжатие
Внецентренным сжатием называется сжатие, при котором сжимающая сила
параллельна продольной оси стержня, но точка ее приложения не совпадает с
центром тяжести сечения (рис.18.7а). Такая задача очень часто встречается
в мостостроении и при расчете колонн зданий.
Обозначим координаты точки приложения силы Yp и Z , а главные оси сечения
у и z направим таким образом, чтобы координаты Yp и Zp были
положительными. Если перенести силу Р
параллельно самой себе из точки А в центр тяжести сечения, то
внецентренное сжатие можно представить как сумму трех простых деформаций:
сжатия и изгиба в двух плоскостях (рис. 18.76).
My=PZp, Mz=PYp (18.16)
Напряжения в произвольной точке сечения, лежащей в первом квадранте, с
координатами у и z можно найти исходя из принципа независимости действия
сил.
ст =-----------------------------------1
F J,
-Z--
-у-
р
р
1 ZPF YPF
\ + --z + --у
V
Л
Л
(18.17)
260
радиусов инерции сечения. Тогда формула (18.17) может быть переписана в
следующем виде:
Получим формулу для определения напряжений в продольной точке сечения при
внецентренном сжатии. Здесь z и у - координаты точки, в которой
определяется напряжение. Обязательно необходимо учитывать знак координат.
В случае внецентренного растяжения в формуле (18.18) нужно изменит знак
"минус" на "плюс".
Определим положение нейтральной оси. Обозначим координаты точек
нейтральной оси через 70, Z0. На нейтральной оси напряжения равны нулю.
Приравняем правую часть уравнения
р
(18.18) к нулю. Так как - * 0, получим
Это уравнение прямой не проходящей через начало координат. Определим
отрезки, отсекаемые нейтральной осью на координатных осях - ау, az
(рис.18.8). Для этого в уравнении (18.19)
сначала приравняем нулю Z0.
(18.18)
F
(18.19)
При Z0=0, Y0 =ay, 1 + ^f ay =0;
(18.20)
Затем возьмем Y0 = 0, тогда Z0=az, \ + ^faz=0;
ly
Знак "минус" в формулах (18.20) и (18.21) указывает на то, что точка
приложения силы А и нейтральная ось всегда расположены по разные стороны
от центра тяжести сечения. Положение нейтральной оси зависит от координат
точки приложения нагрузки - чем ближе сила приложена к центру тяжести
сечения, тем дальше от него расположена нейтральная ось. Если сила Р
приложена в точке, лежащей на оси у (Zp = 0), то нейтральная ось будет
параллельна оси z:
Аналогично и для другой оси (рис.18.9).
262
Рис.18.9
Нейтральная ось делит сечение на две зоны - сжатую и растянутую.
Напряжения линейно зависят от расстояния от нейтральной оси. нейтральной
оси. Проведем касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной
оси, получим точки К и N. Если материал стержня не одинаково
сопротивляется растяжению и сжатию (чугун, бетон, каменная кладка), то
