Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
геометрических характеристик стержня (J^, /) и модуля упругости
материала, но не зависит от прочности характеристик материала. Так,
например, Pkp практически не
зависит от марки стали.
Предельная же растягивающая сила зависит от прочностных характеристик (в
зависимости от марки стали она будет различной) и не зависит от длины
стержня. Таким образом, выясняется резкое отличие между работой стержня
на растяжение и сжатие.
19.3 Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической
силы
Выше был рассмотрен так называемый основной случай закрепления концов
сжатого стержня, когда оба конца стержня закреплены шарнирно. На практике
применяются и другие способы закрепления концов стержня.
Рассмотрим, как влияют условия закрепления на величину критической силы.
Случай второй - один конец стержня жестко защемлен, а второй - свободен
(рис. 19.5а).
276
Рис.19.5
При потере устойчивости верхний конец стержня отклонится на некоторую
величину и повернется, нижний защемленный конец останется вертикальным.
Изогнутая ось получится такая же, как для одной половины стержня первого
случая (рис.19.5б).
Для получения полного соответствия с первым случаем продолжим мысленно
прогнутую ось стержня вниз. Тогда форма потери устойчивости будет
полностью совпадать с первым случаем. Отсюда можно сделать вывод, что
критическая сила для этого случая будет такая же, как и для шарнирно
закрепленного по концам стержня длиной 21. Тогда
*2EJ" (2 If
(19.11)
Третий случай - оба конца стержня жестко закреплены (рис.19.6)
277
Рис.19.6
После потери устойчивости концы стержня не поворачиваются. Средняя часть
длиной ^ вследствие симметрии
будет работать в таких же условиях, что и стержень с шарнирно опертыми
концами, но длиной Тогда исходя из формулы
(19.10), получим:
K~^f(19-12)
Четвертый случай - один конец стержня жестко защемлен, а другой закреплен
шарнирно. В этом случае верхняя часть стержня
длиной приблизительно равной имеет вид полуволны
синусоиды и находится в таких же условиях, что и стержень с шарнирными
опорами на концах (рис. 19.7)
278
/7777777
Рис.19.7
(1913)
Анализируя выражения (19.10) - (19.13), приходим к выводу, что чем более
жестко закреплены концы стержня, тем большую нагрузку он может
воспринимать.
Зависимость (19.10) - (19.13) можно объединить в одну формулу:
(19Л4)
где р/ = / - приведенная длина стержня,
р - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа
закрепления концов стержня (рис.8),
/ - фактическая длина стержня.
Понятие о приведенной длине стержня впервые было ведено профессором
Петербургского института путей сообщения Феликсом Станиславовичем
Ясинским в 1892 году.
Необходимо также отметить, что при составлении формул для определения
критических сил в стержнях с различными условиями опирания использовалась
аналогия в формах потери устойчивости отдельных участков. Однако эти
решения можно получить так же строго математически. Для этого нужно
записать для каждого случая дифференциальное уравнение упругой линии
279
при потере устойчивости, решить его удовлетворяя граничным условиям.
Рис.19.8
19.4 Пределы применимости формулы Эйлера
Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения
упругой линии в предположении, что материал следует закону Гука.
Следовательно, формула Эйлера применима лишь в том случае, когда
критические напряжения не превышают предела пропорциональности, т.е.
Определим критические напряжения.
_ _71 lEJmm " ЫУР '
Учтем, что
где imin- наименьший из главных радиусов инерции поперечного сечения
стержня.
Получим
280
п2Е
V^min J
Отношение приведенной длины стержня к радиусу инерции сечения называется
гибкостью и обозначается X. Это
безразмерная величина X =J^_
^min
Окончательно получим;_______________
п2Е
Гарантией применимости формулы Эйлера будет тот случай, когда критические
напряжения станут равными пределу пропорциональности, т.е.
п2Е
п2 ^ пц
пред
Следовательно
Определим предел применимости формулы Эйлера для стержней, изготовленных
из стали марки Ст.З, для которой модуль упругости Е = 2,110 МПа, предел
пропорциональности а"" = 200
МПа, предел текучести ат = 240 МПа.
пц
^пред
п2Е
3.14 -2-10
пц
2000
100.
Таким образом, формула Эйлера для остальных стержней может быть
использована только в том случае, если их гибкость больше ста. В
противном случае применение формулы Эйлера опасно.
Аналогичным образом можно вычислить предел применимости формулы Эйлера и
для любого другого материала зная значение его модуля упругости и предел
пропорциональности. Для чугуна формула Эйлера применима при гибкости X >
80, для сосны при А. >110.
281
19.5. Построение графика зависимости критических напряжений от гибкости.
Формула Ясинского
Построим график зависимости критических напряжений от гибкости стержня,
изготовленного из стали марки Ст.З. Если на оси ординат (рис.19.9)
отложить величину предела пропорциональности (ащ=200 МПа) и провести из
