Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
246
поэтому Е ^Ф) _ Подставляя это выражение в формулу для d(p S
напряжений, получим формулу для определения напряжений в кривом стержне
при чистом изгибе
S(p + y)'
где М - изгибающий момент (М > 0, если он увеличивает кривизну), у -
расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемых волокон, р - радиус
кривизны нейтрального слоя,
S = F(R - р) - статический момент площади поперечного сечения
относительно нейтральной линии.
Му
\imS(p + y) = J,
р-> о
поэтому СГ =
J
т.е. переходит в формулу для
определения напряжении в прямом стержне.
17.3 Расчет кривых стержней на прочность
Исследуем распределение нормальных напряжений по высоте сечения в плоском
кривом стержне
сг =
1 -
Р + У,
-{\-Е
S U ;
=т
Му _ М [(у + р) - р] _ М_
S(p +у) s р + у S
- гипербола, т.к. = const и р = const.
Следовательно, нормальные напряжения распределяются по
высоте сечения кривого стержня по гиперболическому закону.
I I М(г - р) Mh2
сг\ = 0 на п.л. сг =----------= -2-
lj;=0 1y=r~p S{p + r-p) Srn
_ I _ М(р - г ) _ М\
- Ч-(Р-*) --S{p-p + rb) ~
где Aj и h2 - расстояние от нейтральной линии до крайних внутренних и
наружных волокон соответственно.
Так как l\<h2, а гъ"гн, то |<т6|>|сгн| т.е. большие по абсолютной
величине напряжения всегда действуют в кривом стержне на внутренней
поверхности (рис.17.2в), поэтому условие прочности кривого стержня
выражается формулой
В крайних наружных волокнах |<тн|<[сг], поэтому здесь при симметричных
поперечных сечениях (рис.17.3а) материал используется
247
не эффективно. Как добиться эффективной работы материала во всем сечении
кривого стержня?
крюка
Очевидно, надо сделать так, чтобы в этой части сечения было как можно
меньше материала, т.е. надо использовать несимметричные поперечные
сечения, например, тавровое сечение (рис. 17.36) является наиболее
рациональным для кривого стержня. Но такое сечение легко отлить, а
отковать трудно, поэтому для элементов изготовленных путем ковки
используют трапециевидное сечение (рис.17.3в). Для того, чтобы уменьшить
концентрацию напряжений в углах их округляют. В результате получают
сечения, приведенные на рис.17.3г. Такое сечение является рациональным
для кривых стержней изготовленных путем ковки. Именно такое сечение имеют
крюки различных подъемников, кранов и машин.
Если в основном сечении кривого стержня действуют изгибающий момент М и
продольная сила N, то для определения напряжений по принципу наложения
надо воспользоваться формулой
N Му
(Т = - +---------
F S{p + y)
В случае хрупкого материала для обеспечения прочности кривого стержня
необходимо потребовать, чтобы напряжения в крайних волокнах \(тъ\ и |<тн|
не превышали допускаемых на сжатие [<т_] и на растяжение [<т+].
248
17.4 Определение радиуса кривизны нейтрального слоя
Для расчета кривого стержня на прочность необходимо, прежде всего, знать
радиус кривизны нейтрального слоя р. Определим его для наиболее часто
встречающихся в практике сечений: а) прямоугольного (рис.17.4)
ZZZZZZZZZZ
ц.т.ф-
du
¦V-
Ч-Ч-----------------------Ч-Л
ось кривизны стержня
Рис.17.4
Р = --==- Так как F = bh, а р + у = и - известно, то dF = bdu,поэтому
С dr
1р+у
г dF /rdu \rH L1 r bh
= b\ - = b\nu\ =bln^- и p =
lp+у J-
и
MiA
т.е. p =
_ формула для определения радиуса кривизны нейтрального слоя стержня
прямоугольного сечения.
V
Если разложить In- - в ряд и удержать два члена разложения, то
гъ
получим приближенную формулу для определения радиуса кривизны
нейтрального слоя стержня прямоугольного сечения
б) двутаврового (рис.17.5
p = R S' ГА Ч •
f 12^J
249
u_______
ц.т.
н.л.
ZZZ
if
Ось кривизны стержня
i _________________________________ _\_____________________________2s...
T \ ^ \ N
В этом случае интегрирование выполняется также просто, как и для
прямоугольного сечения. После выполнения его получим
_ b}h} + b2h2 + b3h3
MiA+zuiA+zuiA
Г2 Г\ ГЬ
Полагая в этой формуле ^=/^=0 или b3=h3 0, получим радиус кривизны
нейтрального слоя для таврового сечения. в) трапецеидалъного (рис. 17.6)
Рис. 17.6
250
-y*
Имеем F - --- h, p + y = u, b(u) = bx + (b2 - bxdF = b{u)du. Тогда 2
h
* U rb
bx+(b2-bx)^-
du
и
bi+(b2~bi)j
1гшГ' -h-^uV
\ h \rb
In ^-(b2-bx)
rb
и формула для определения радиуса кривизны нейтрального слоя
И - 2 т Ъ2-Ъх h+rn h In- -^i) rb
р для треугольного поперечного сечения. Для других сечений формула для р
приводится в справочниках.
17.5 Определение перемещений плоских кривых стержней
В стержнях малой кривизны при определении перемещений можно пренебречь
влиянием продольных и поперечных сил и пользоваться одночленной формулой
Мора
В случае плоского изгиба стержня большой кривизны при определении
перемещений необходимо учитывать кривизну и совместное действие М и N.
Сделаем это. Определим деформации элемента кривого стержня длиной dS
(рис.17.7) при совместном действии Мр и
Np. Ими являются: dd - взаимный угол поворота сечений тп и т'п' и A(dS) -
абсолютное удлинение осевого волокна. Определим их а) от действия М (рис.
