Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
применим для расчета любых статически неопределимых систем при любых
внешних воздействиях.
Для статически неопределимых систем, элементы которых испытывают только
растяжение или сжатие характерным является то,
228
что в них изгибающие моменты и поперечные силы тождественно равны нулю.
Поэтому при определении коэффициентов и свободных членов канонических
уравнений нельзя пренебрегать влиянием продольных сил. Их определяют по
формуле Максвелла
" l'-N;Nkdx
5,1 Si
или по способу Верещагина
п К
¦¦ NN dx A. =Yf * р , 1Р ы{ EF
**=NtNk, A ?=N,Np.
Кроме того в таких системах эпюру суммарных продольных сил обычно не
строят, а ограничиваются вычислением их по формуле
N, = NmXx + NmX2 +... + Nn{i)Xn + Nm
где Ni - суммарная продольная сила в г-том стержне,
Nk(i) - продольная сила в г-том стержне основной системы от силы Х=1,
N
P{i)
- продольная сила в г-том стержне основной системы от
внешней нагрузки.
Рассмотрим пример. Определить напряжения в стержнях статически
неопределимой конструкции (рис.15.19а), если Е] = Е2 = Е, Fl=F2=F, а
элементов абсолютно жесткий.
V V _ (1
0,5
Х,=1
0
/777777777779'777777777777с>777
б)
г)
-а
±
тг
N
(c)
/77777777777<>77777777777797777
Рис.15.19
229
Определим степень статической неопределимости
Л = ЗК-Ш = 32-5 = 1 и выберем основную систему (рис.15.19б). При такой
основной системе лишним неизвестным хг является продольная сила в стержне
1. Для определения ее составим каноническое уравнение
SjjJCj + АХр = 0.
Коэффициент 8П и свободный член АХр определили по способу Верещагина.
Необходимые для этого эпюры Np и N] приведены на
рис.15.19в,г). Перемножая их по способу Верещагина, получим
" = лг 1-а-1 0.5-а-0.5 5 а
8П = М, =----------+----------=-----,
11 1 1 EF EF AEF
3
0.5-а- Р
К =N,N =--------------4- = -* .
Хр 1 р EF 8 EF
Подставляя 8П и А]р в каноническое уравнение, получим
5 а ЪРа _
jCj л = 0.
4EF 8 EF
3 р
Откуда х, = = -0.3Р.
Теперь можно легко вычислить суммарные продольные силы в стержнях системы
Nl = 1 -х, + 0"0.3Р,
N, = -0.5х, - -Р = -0.5(-0.3Р) - -Р = -0.6Р,
2 1 4 4
а следовательно и напряжения
N, 0.3 Р N2 0.6Р
^ 1 j ^ о •
1 F, F F2 F
15.9 Определение начальных напряжений методом сил
В элементах статически неопределимых систем возникают напряжения даже при
отсутствии внешних сил. Они могут быть вызваны изменением температуры,
перемещениями отдельных связей или возникнуть при сбое конструкции из
неточно изготовленных элементов. Такие напряжения называются начальными
или монтажными. Их можно легко определить методом сил, если при
составлении канонических уравнений добавить к свободным членам
230
перемещения, вызванные изменением температуры и заданными смещениями
отдельных связей.
Например, для п раз статически неопределимой системы при совместном
действии внешних сил, изменении температуры и заданных смещениях
некоторых связей система канонических уравнений имеет вид
SjjXj +512л;2 +... + 8ln.xn + АХр + Аи + Д10 = О
8 21*1 +&22Х2 + - + §2пХп + Д2 р + Д21 + Д20 = ^
+ ЬП2Х2 +- + ^ппХп +Апр +Ant + ЛяО "О
где Aip, Аи, Д/0 - перемещения в основной системе в направлении силы xt,
вызванные соответственно внешней нагрузкой, изменением температуры и
заданными смещениями отдельных связей.
В балках и рамах для определения перемещений Aip обычно
используют способ Верещагина, а перемещения Аи определяют по формуле
д.,
2 п
Перемещения Дг0 можно определить из геометрических соображений или по
теореме взаимности работ. Если при выборе основной системы удалить из
заданной системы те связи, в направлении которых заданы смещения Дг, то
Дг0 = -Дг.
Рассмотрим пример. Определить напряжения на участках стержня (рис.
15.20а), вызванные действием внешней силы Р, изменением температуры на t
градусов и неточностью изготовления стержня (он изготовлен короче на Д ),
если EF = const и а = const.
Определим степень статической неопределимости в предположении, что зазор
Д закрыт(рис.15.20б).
Л = ЗК-Ш = 31-0 = 3, но так как М = Q = 0, то задачу можно решить как
однажды статически неопределимую. Чтобы получить основную систему
отбросим в заданной системе нижнюю опору и направим лишнее неизвестное хх
вниз, т.е. в направлении заданного смещения (рис.15.20в). При этом Д10 =
-Д и каноническое уравнение для определения лишнего неизвестного хх будет
иметь вид
SjjXj + АХр + Аи = А.
231
Перемещения 8П и Aj определим по способу Верещагина. Необходимые эпюры
продольных сил Nr и N приведены на чертеже.
^ ////1/// б) /////// в) /////// г) ///////
З.С.
///у//}'
д) ///////
7777777
Тт с. дт ЛГ 1-2а-1 2а =-лг Ра-1 Ра
Имеем 8П = JVjJVj =----------------= -, А, = NrN =
EF
Аи =а
EF t +1
1 р -¦ Г- р
2а • 1 = 2а at.
EF EF
Подставляя 5П, А, и Au в каноническое уравнение, получим
2а Ра _ .
-х н h2aat = А.
EF 1 EF
Откуда находим jcx = - - +
N
2а
-at
EF и суммарные продольные
силы и напряжения на участках стержня.
Р (А " Р
+
1 2
/
(r)i=-
2F
at
\2а
г А
at
\2 а
+
EF
N, =------------+
