Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зозуля В.В. -> "Механика материалов" -> 62

Механика материалов - Зозуля В.В.

Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов — Х.: Национальный университет внутренних дел, 2001. — 404 c.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка): mehanikamaterialov2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 91 >> Следующая

называемое критическим, при котором деформированное тело находится в
безразличном равновесии: оно может сохранить первоначальную прямолинейную
форму, но может и потерять ее от самого незначительного воздействия
(рис.19.2б).
Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной
формы тела, называется критической и обозначается Р .
С момента наступления критического состояния до момента разрушения
остаточные деформации нарастают крайне быстро и практически нет времени
для принятия мер по предотвращению катастрофы.
Для обеспечения устойчивости в сооружениях допускаются нагрузки, которые
значительно меньше критических, т.е. должно выполняться условие
где [Р] - допускаемая на стержень нагрузка, пу - коэффициент запаса
устойчивости, зависящий ,в основном, от материала.
Для дерева принимают пу = 2,8- 3,2, для стали пу =1,8- 3,0, для чугуна пу
=5,0 5,5.
Следовательно, чтобы производить расчеты сжатых стержней на устойчивость,
необходимо изучить способы определения критических нагрузок Ркр.
(19.1)
272
Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены в XVIII
столетии академиком Российской Академии наук Л.Эйлером (1707-1793гг.). В
дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального
исследования вопросов устойчивости была проведена отечественными учеными
Ф.С.Ясинским, А.Н.Динником, С.П.Тимошенко. Блестящим развитием всех работ
в области упругой устойчивости является теория, созданная выдающимся
ученым В.З.Власовым. Исследования устойчивости упругих систем
продолжаются и в настоящее время, т.к. с развитием техники число задач,
возникающих в этой области, и сложность их непрерывно возрастают.
19.2 Формула Эйлера для определения критической силы
Рассмотрим стержень постоянного сечения, оба конца которого закреплены
шарнирно (рис.З). Стержень сжимается критической силой, ось стержня
немного искривилась, т.е. рассматриваются малые перемещения. Задавшись
искривлением оси стержня, найдем величину осевой сжимающей силы, при
котором такое искривление возможно. Будем считать, что напряжения в
стержне при том не превосходят предела пропорциональности.
273
Начало координат в точке О, ось х направлена вдоль оси стержня, ось у -
влево. Прогиб в произвольном сечении х равен у.
Воспользуемся приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси
стержня.
db, = mx)
dx2 EJ v '
Изгибающий момент в произвольном сечении
Щх) = -рыУ (19.3)
Тогда
Обозначим
Ь + Ьу-О.
dx2 EJ Р,
EJ
d2 у
= к2 (19.4)
^ + = О (19.5)
Это однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Решение этого уравнения можно записать в виде гармонической функции
у = ^4 sin Ах+ 5 cos Ах (19.6)
Постоянные интегрирования А и В находятся из граничных условий.
1-е условие:
при* = 0, у = 0 или у\х=о =0 + 51 = 0, т.е.В = 0.
Уравнение (19.6) принимает вид:
y = Asinkx (19.7)
т.е. стержень изгибается по синусоиде.
2-е условие:
при х = 1, у = 0 или y\x=l = Asmkl = 0.
Произведение двух сомножителей равно нулю, что возможно лишь в том
случае, если один из сомножителей равен нулю. Разберем оба случая.
Если допустить, что А = 0, то у(х) всегда равен нулю и
прогиба вообще не существует. Это решение противоречит
принятому предложению о том, что стержень уже прогнулся, т.е. Аф 0.
Следовательно, должно выполняться условие sin kl = 0, откуда
Ш = 0, 71, 271, 371 ,...7771
где п - любое целое число.
Все ли значения п применимы в данной задаче?
274
р =
кр
Рассмотрим условие (19.4). Из него следует, что если к = 0, то О, т.е.
стержень не нагружен, а это противоречит условию задачи. Следовательно,
значение к = 0 нужно исключить из решения. В общем случае имеем:
к = у- (19.8)
Подставим это значение в уравнение (19.4) , получим
Д=-
Рь, п2п2 " nVEJ
или
EJ 11 Г (19'9)
Для инженерных расчетов практический интерес
представляет собой наименьшее значение сжимающей силы, при
котором происходит продольный изгиб, поэтому следует принять
п = 1.
7Z
Тогда уравнение (19.7) примет вид: y = Asm-x, т.е. стержень
изгибается по синусоиде с одной полуволной.
I
п I
= Л = у"
/ н
При х = - - прогиб максимален: y\x=l = Asm.-^
При п = 2 и п = 3 соответствует форма потери устойчивости по двум и трем
полуволнам синусоиды (рис.19.4). Исследования, проведенные Лагранжем,
показали, что только первая форма изгиба является устойчивой, а все
остальные могут быть лишь при наличии промежуточных опор (в точках
перегиба).
275
Потеря устойчивости стержня происходит в плоскостях наименьшей жесткости
Jx = Jmin , поэтому при определении критической силы надо учитывать
наименьший осевой момент инерции сечения.
(19Л0)
Это формула Эйлера для определения критической силы для стержня с двумя
шарнирно закрепленными концами (основной случай). Формула получена
Эйлером в 1744 году.
Величина критической силы прямо пропорциональна наименьшей жесткости
сечения и обратно пропорциональна квадрату длины стержня.
Как видно из формулы Эйлера, величина критической силы зависит от
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed