Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
2 2
Е.
°2="
2 F
+
А
at
\2 а
г А
at
\2 а
EF.
Е.
15.10 Порядок расчета статически неопределимых систем
методом сил
1. Определить степень статической неопределимости системы.
2. Выбрать рациональную основную систему и записать систему канонических
уравнений.
3. Построить в основной системе необходимые эпюры внутренних усилий от
действия единичных липших неизвестных и внешней нагрузки.
4. Определить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений.
5. Решить систему канонических уравнений.
6. Построить суммарные эпюры внутренних усилий.
7. Выполнить статические и деформативные проверки расчета.
8. Выполнить расчет на прочность и жесткость.
232
ГЛАВА 16
РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
16.1 Выбор рациональной основной системы
Неразрезными балками называются многопролетные статически неопределимые
балки, не имеющие промежуточных шарниров (рис. 16.1а).
831^0
б)
L • Xj=l /77^777
О.С.
- рациональная
Mj=l М]=1
в) 821ф0 831=0
841-о
/7тЬл7
8ц-в1+в2
Рис.16.1.
Опоры и пролеты их принято нумеровать слева направо, как показано на
рисЛбЛа. Расчет неразрезных балок, как любых других статически
неопределимых систем, можно выполнить методом сил. Для определения
степени статической неопределимости удобно пользоваться формулой JI = С -
С0. Но для обеспечения геометрической
неизменяемости одного элемента на плоскости, достаточно трех связей, т.е.
С = 3, поэтому
Л = С- 3
233
- формула для определения степени статической неопределимости неразрезных
балок, где С - общее число связей в системе.
В рассматриваемом примере С = 6, a JI = 3. Поэтому при выборе основной
системы в из заданной системы необходимо выбросить любые три связи, но
такие, чтобы полученная система была геометрически неизменяемой и
статически определимой. Рассмотрим два варианта основной системы. В
первом варианте из заданной системы выбросим три опорные связи,
предотвращающие вертикальные перемещения в точках 1,2 и 3 (рис.16.1б). За
лишние неизвестные в этом случае принимаются реакции отброшенных связей,
т.е. силы Хь Х2 и Х3. Очевидно, что в этой основной системе,
представляющей собой один геометрически неизменяемый элемент, ни одно из
побочных перемещений не обращается в нуль. Поэтому она является
нерациональной.
Во втором варианте выбросим из заданной системы 3 внутренние связи,
предотвращающие взаимный поворот сечений над опорами 1,2 и 3 (рис.16.1в).
Такая основная система состоит из 4-х элементов, связанных между собой
шарнирами, а за нижние неизвестные в ней приняты изгибающие моменты,
действующие в опорных сечениях, т.е. Х} = Мъ Х2 = М2иХ3 = М3.
Проанализируем эту основную систему. При действии лишнего неизвестного Мг
= 1 будут деформироваться только два смежных пролета, поэтому только
перемещения 8П и 821 отличны от нуля, а все остальные побочные
перемещения равны нулю. Вследствие этого в первое каноническое уравнение
войдут только два неизвестных опорных момента М3 и М2, а в остальные
уравнения - не более 3-х опорных момента. Следовательно, при такой
основной системе многие побочные перемещения обращаются в нуль,
вследствие чего в каждое каноническое уравнение войдет не более, чем три
неизвестных момента, действующих в опорных сечениях двух смежных
пролетов. Поэтому такая основная система считается рациональной.
16.2 Уравнение трех моментов
Рассмотрим два смежных пролета некоторой неразрезной балки при EJ = const
во всех пролетах (рис. 16.2а). Обозначим опоры и пролеты. Для расчета
этой балки используем рациональную основную систему (рис.16.2б). Запишем
п-о каноническое уравнение, которое выражает отсутствие взаимного угла
поворота сечений в эквивалентной системе на А^-ой опоре. Так как при
действии опорного момента Мп деформируется только п-й и (п + 1)-й пролеты
балки, то все перемещения за исключением
234
S Snn и 5и>и+1 будут равны нулю. Поэтому в п-е каноническое уравнение
войдут только три неизвестных опорных момента Мп_х, Мп и Мп+Х, т.е.
Для перемещений 8и; и Апр построим эпюры изгибающих моментов в основной
системе от действия единичных лишних неизвестных и внешней нагрузки
(рис.16.2в,г,д,е). Обозначим через юи и юи+1 площади эпюры М
соответственно в п-ом и (п+1)-ом пролетах. Расстояния от центров тяжести
этих площадей соответственно до левой и правой опор обозначим через а, и
Перемножая соответствующие эпюры между собой по Верещагину, получим:
Выясним смысл слагаемых правой части. Для этого рассмотрим п-й пролет
балки, загруженной фиктивной сосредоточенной силой Рф=(оп
(рис.16.2ж).
От ее действия на опорах возникают реакции Rf_Xn и Я^л, которые
называются фиктивными.
Из условия равновесия ^Мп_х -R-tjn = 0 • Находим
1 211 21
=мпмп =ii./e?iJ^ii./e+1?iJL
2 "3 EJ 2
-1- = -=- 3 EJ 3EJ
Очевидно, что юи+1 = R*n.
235
а)
п-1
р З.С. я /
Г п
/77^777
/7т777
/77^777
/ In In
Л 7 /
б) Mn.i
X
У*
О.С.
Мп+1
V
~±
м,
д)
Мп+1=1
236
Учитывая это перемещение Апр можно записать в виде:
K=jj(RL + Rl)-
