Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
жесткости
Рис.19.10
ta=S
Рис.19.11
Первый стержень (рис.19.1 la) испытывает деформацию изгиба с растяжением,
второй стержень (рис.19.11б) внецентренное сжатие, которое можно
рассматривать как сумму простых 3-х деформаций: центрального сжатия и
изгиба в двух плоскостях. В обоих случаях, используя принцип
независимости действия сил, напряжения определяются от каждой простой
деформации отдельно и суммируются. Например, напряжения в произвольной
точке сечения в первом случае равны:
во втором случае
При определении деформаций коротких жестких стержней также применяют
принцип независимости действия сил, так как деформации их малы и не
зависят от последовательности приложения нагрузки. Расчет производится по
недеформируемой схеме.
Рассмотрим третий стержень (рис.19.11в). Поперечная нагрузка Р, q
вызывает его изгиб, сжимающая сила S, приложенная в сечении В, вызывает
его сжатие. Прогиб в произвольном сечении х равен у.
Применим ли в этом случае принцип независимости действия сил?
Рассмотрим раздельное действие нагрузки.
Поперечная нагрузка вызывает прогиб у0 (рис. 19.12а), силы S прогибов не
вызывают (рис. 19.126).
Р
S л
х_
S
7
Рис.19.12
Но совершенно очевидно, что при совместном действии этих нагрузок силы S
будут вызывать дополнительный изгиб стержня и
287
поэтому полный прогиб больше суммы прогибов, возникающих при раздельном
действии поперечных и продольных сил. таким образом, в этом случае
неприменим принцип независимости действия сил и расчет следует
производить по деформированной схеме. Изгибающий момент от сжимающей силы
S необходимо определять с учетом прогибов оси балки.
Изгиб прямого бруса, при котором в поперечных сечениях возникают
изгибающие моменты как от продольных, так и от поперечных нагрузок,
называется продольно-поперечным.
Изгибающий момент в поперечном сечении (рис. 19.13) равен:
М(х) = М0 + Sy, (19.15)
где М0 - изгибающий момент от поперечной нагрузки,
Sy - дополнительный изгибающий момент, вызываемый осевой силой S.
Приближенное уравнение изогнутой оси балки при чистом изгибе имеет вид:
d2 у М(х)
dx2 EJ
Подставим значение (19.15) в уравнение (19.16)
(19.16)
(19.17)
Получили приближенное уравнение изогнутой оси балки при продольно-
поперечном изгибе. Точное решение этого уравнения требует больших
вычислений и преобразований. Задача особенно усложняется, если поперечная
нагрузка делит балку на несколько участков, для каждого из которых
следует составлять дифференциальное уравнение и производить его
интегрирование.
288
19.9 Приближенный способ расчета при продольно-поперечном изгибе
Уравнение (19.17) представим в следующем виде:
EJ-jy+Mq =-Sy (19.18)
dx
Полный прогиб "у" состоит из двух частей:
1) прогиба от поперечной нагрузки -у0 и
2) дополнительного прогиба, возникающего от действия силы S, он равен у-
у0.
Под действием только поперечной нагрузки
-^j-= М° или M0=EJ^y~ (19.19)
dx2 EJ 0 dx2 v '
Подставим (19.19) в (19.18), получим:
ej^~y - ej^-^y~ = -Sy dx dx
или
d2(y~y0) _~Sy
(19.20)
dx2 EJ
Будем предполагать, что дополнительные прогибы, вызванные действием
сжимающей осевой силой, как и при продольном изгибе изменяются по закону
синуса, т.е.
y-y0=fsinjx' (19.21)
где/ - стрела прогиба.
В этом предположении и заключается приближенность
решения.
Продифференцируем дважды выражение (19.21)
d{y-y0) п п ---= - / cos-X, dx 11
d2b'-yo) = _?if sing_ x = -?l(у-у). (19.22)
dx2 I2 I 12 v v '
Подставим в (19.20)
-Y^y-Уo)=-fj <19-23)
Найдем полный прогиб "у".
Sy Sy
y-y0=---2 (tm) У--^гт = Уо
EJn EJn
I2 I2
289
У
1-
Выражение
EJn
EJn
= Уо (tm) У = -
Уо
(19.24)
1-
EJn I2
по внешнему виду совпадает с формулой
Эйлера для критической силы сжатого стержня, имеющего шарнирные опоры на
обоих концах. Поэтому это выражение принято называть эйлеровой силой
EJn
= Р".
Тогда формула (19.23) перепишется так:
(19.25)
(19.26)
- формула для определения прогибов при совместном действии продольных и
поперечных нагрузок.
Эйлерова сила в формулу (19.26) введена чисто формально. Различие между Р
и Рэ заключается в следующем:
7. Формула
применима лишь при условии, что гибкость стержня больше предельной (т.е.
только для стержней большой гибкости). Понятие эйлеровой силы Рэ не
связано с этим ограничением.
II. В формулу (19.27) входит минимальный момент инерции, а при
вычислении эйлеровой силы следует брать момент инерции относительно той
из главных осей инерции, которая перпендикулярна плоскости действия
поперечной нагрузки.
Приближенной формулой прогибов (19.26) можно пользоваться и при других
способах закрепления концов балки. Тогда эйлерову силу следует вычислять
по общей формуле
Р'=1^Г' (19,28)
где р - коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления
концов стержня.
290
Формулой (19.26) нельзя пользоваться в том случае, если
отношение - близко к единице. Она применима, когда Рэ
сжимающая сила находится в интервале 0 < S < 0.8Рэ.
Если S&P3, то необходимо интегрировать точное дифференциальное уравнение
