Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
также по сечению распределяются неравномерно.
_ = Миэг
max w
Как видно, опасными являются точки, расположенные у края сечения, где
нормальные и касательные напряжения достигают максимального значения
(рис.18.14).
Определим, в каком напряженном состоянии находится материал вала. Для
этого у края сечения выделим элемент и рассмотрим, какие напряжения
действуют на его гранях. По четырем его граням
268
действуют касательные напряжения, а к двум из этих гранен приложены еще и
нормальные напряжения (рис.18.14). Таким образом, при изгибе с кручением
материал вала находится в плоском напряженном состоянии. Совершенно
аналогичные напряжения на гранях мы имели при поперечном изгибе балок.
Этот случай напряженного состояния был рассмотрен при расчете балок по
главным напряжениям.
Чтобы записать условие прочности нужно привлечь теории прочности. Для
пластичных материалов используют третью и четвертую теории прочности.
По III теории условие прочности имеет вид:
Учитывая, что для круглого сечения
nd2
W, =
2 32
71 d2
W" = - = 2 Wz,
16
имеем
w
+ 4-
к
aw:
м2 +м:
w.
Числитель представляет собой приведенный момент, действие которого
эквивалентно совместному действию изгибающего и крутящего моментов.
= Jm:
\ и
М
ш
прив
+ м:
Тогда условие прочности имеет вид:
Аналогично можно получить условие прочности и по IVтеории
, IV
м2 Ml
изг + 3 %
W2 ml
_ V "
+ 0.75М,:
W.
м
IV
прив
2
изг
+ 0.75М,:
Полученные условия прочности позволяют выполнять три вида расчетов на
прочность: проверочный, проектировочный и определять допускаемую нагрузку
на вал.
Приведенные зависимости полностью применимы и к стержням кольцевого
сечения.
269
ГЛАВА 19
РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ (ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ)
До сих пор определение размеров поперечных сечений различных стержней мы
производили из условий прочности. Для стержня, растянутого или сжатого
силой Р, например, мы пользовались условием
при котором предполагалось, что разрушение наступает в том случае, когда
напряжения станут равными пределу прочности о пц
(для хрупкого материала) или пределу текучести стг (для пластичного
материала). Никаких принципиальных различий между деформацией растяжения
и сжатия мы не делали, учитывали только площадь поперечного сечения
стержня и характеристики прочности материала. Длина стержня и формы
поперечного сечения во внимание не принимались.
Всегда ли это правильно?
Возьмем деревянную чертежную линейку и приложим к ней продольную
сжимающую нагрузку. Постепенно ее увеличивая, заметим, что ось сначала
остается почти прямолинейной, а затем при некоторой нагрузке она внезапно
искривляется и может сломаться. Заметим, что с изменением длины стержня
изменяется и разрушающая нагрузка, чем длиннее стержень, тем при меньшей
нагрузке он разрушается. Кроме того, при сжатии длинных стержней
изменение формы поперечного сечения (при прочих равных условиях) так же
вызывает изменение разрушающей нагрузки.
Очевидно, что в различных элементах конструкций соотношение между длиной
сжатого стержня и размерами его поперечного сечения должно быть подобрано
таким образом, чтобы обеспечить надежную работу конструкции. Решение
этого вопроса и составляет содержание задачи, рассматриваемой в данной
лекции.
270
19.1 Понятие об устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня и
критической силе
Из механики известно, что равновесие твердых тел может быть устойчивым,
неустойчивым и безразличным (рис.19.1).
Устойчивое Неустойчивое Безразличное
равновесие тела равновесие тела равновесие тела
Рис.19.1
Аналогично этому равновесие упругих систем может быть устойчивым и
неустойчивым.
Рассмотрим тонкий стержень, испытывающий сжатие с постепенно возрастающей
нагрузкой (/> <Р2<Р3).
При малой сжимающей силе Рг ось стержня остается прямолинейной. Даже если
стержень отклонить сравнительно малой горизонтально приложенной силой, то
после ее удлинения, стержень снова возвратится в свое первоначальное
положение. Такое упругое равновесие называется устойчивым (рис. 19.2а).
При большом значении сжимающей силы Р3 после незначительного отклонения
стержня в сторону ось стержня искривляется, стержень не может
возвратиться в первоначальное положение, продолжает еще более
искривляться под действием сжимающей силы. Это неустойчивая форма
упругого равновесия. Происходит потеря устойчивости (рис.19.2в). Такой
случай изгиба называют продольным изгибом, т.е. изгибом, вызванным
сжимающей силой, действующей вдоль оси стержня.
Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень
сильное нарастание прогибов при малом нарастании сжимающей силы.
Продольный изгиб является опасным, разрушения от него происходят
внезапно, его нельзя допускать. История техники отмечает целый ряд
крупных катастроф вследствие потери устойчивости сжатыми элементами
конструкций.
271
Устойчивое
упругое
равновесие
Критическое
состояние
Неустойчивое
упругое
равновесие
Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние,
