Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
согласуются с экспериментом.
Поэтому была предложена новая теория, которая основана на гипотезе,
согласно которой причиной наступления предельного состояния и разрушения
считается часть удельной потенциальной энергии деформации, которая
накапливается вследствие изменения формы элемента.
Поводом для этой гипотезы послужил тот экспериментальный факт что при
всестороннем сжатии разрушение практически не наступает. Таким образом
энергия, соответствующая изменению объема при всестороннем сжатии не
может служить критерием прочности.
Новая энергетическая теория связывается только с энергией формоизменения.
Критерий прочности, согласно этой теории, представляется в виде
иФ АиФ1
где иф - удельная энергия формоизменения для рассматриваемого
напряженного состояния, \иф \ - допускаемая энергия
формоизменения, полученная из опытов на простое растяжение. Для
вычисления удельной энергии формоизменения используем соотношение
и = и0+иф или иф =и-и0 Здесь и0 - удельная энергия, затрачиваемая на
изменение объема.
Представим заданное напряженное состояние (рис.7.1а), определяемое
главными напряжениями а,, ст2, ст3, в виде суммы двух напряженных
состояний (рис.7.16, в). Первое соответствует гидростатическому
103
N
= 0
растяжению (сжатию), когда по всем граням кубика действуют одинаковые
напряжения
СТ, + СТ, +С7л
ст = ---------------
Ф з
Второе напряженное состояние характеризуется
напряжениями
CT1-CT1-<V °2-°2-°ф; СТз-СТ3-СТф-
Изменение объема кубика от действия этих напряжений
равно нулю. Действительно, подставляя их значения в формулу для
объемной деформации из предшествующей главы, получим
Л 1 -2и,/ \ l - 2u ( ст,+ст2+ст3
0 = 1+ст 2+С7 з ) = CTi +СТ2 +ст3 -3--^^
Е Е \ 3
Изменение объема кубика происходит только от действия
напряжений, соответствующих первому напряженному состоянию.
Для определения и0 подставим в формулу для и вместо ст15 ст2, ст3
напряжения ст . В результате получим
1 - 2 и / \2
м = -^(ст 1+ст2+а3) .
Тогда удельная энергия формоизменения определяется как разность между и и
и0. После несложных преобразований получим
иФ=]-^{°1'2+°2'2+°з'2-(°Р2+°Рз+°2°з)) =
= ~^[(CTi ~(3l)2 + (СТ2 _СТз)2 + (СТ3 _CTi)2]
Для случая простого растяжения ст2 =ст3 = 0 и ст, = [ст] получим
\иф ]= 2[ст ]2. Учитывая это условие прочности, согласно 6Е
четвертой теории прочности, запишется в виде
Четвертая теория прочности хорошо подтверждается экспериментально для
пластических материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.
Появление малых пластических деформаций в материале четвертой теорией
прочности определяется более точно, чем третьей. Поэтому ее часто
называют условием пластичности.
104
7.6 Теория прочности Мора
В отличие от изложенных выше теорий, теория Мора основывается не на
гипотезах, а на экспериментальных данных. Зависимость между прочностными
свойствами материала и видом напряженного состояния выводится и
обосновывается с использованием кругов напряжений Мора. Для этого
выбирается некоторое напряженное состояние и одновременно увеличиваются
его компоненты. Когда напряженное состояние станет предельным, на
напряжениях CTj и ст3 строится соответствующий им круг Мора. Среднее
напряжение ст2 не учитывается. Опыт показывает, что ошибка при этом не
превышает 10 - 15 %. Строится серия таких кругов, соответствующих
различным напряженным состояниям (рис. 7.2). Огибающая этих кругов, форма
которой зависит от свойств материала является его механической
характеристикой.
Если огибающая предельных кругов Мора построена, то для ответа на вопрос
является ли напряженное состояние, характеризующееся главными
напряжениями ст15 ст2, ст3, предельным и оценки прочности материала
следует построить для CTj и ст3 круг напряжений в опасной точке
материала. Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри
огибающей. Для нахождения коэффициента запаса следует определить во
сколько раз необходимо увеличить а, и ст3, чтобы круг касался огибающей.
105
Для построения действительной огибающей предельных кругов Мора
потребовалось бы опытным путем исследовать всевозможные напряженные
состояния. Это неосуществимая задача, поэтому на практике действительную
огибающую заменяют прямыми касательными лишь к двум предельным кругам,
соответствующим опытам на одноосное растяжение и сжатие.
Условие прочности для промежуточного напряженного состояния с главными
напряжениями в ст15 ст3 и предельным кругом Мора с центром в точке О
(рис. 7.3) получим из следующих геометрических соотношений.
Проведем прямые ОхМх, 02М2, ОъМъ, соединяющие центры предельных кругов
Мора и точки их касания с предельной прямой, а также отрезок АОх
параллельный МХМ2. Из подобия А0Х02В и А0х02А получим следующие
зависимости
ОгВ _ 02А
0,0ъ охо2
где
О-В = OiMi -0]М] =<h^±-.
2
ОхОг =ООх -ООг =
[ст + ] Р1-Р3 .
2 2
0Х02 - ООх + 002 -
2 2
Учитывая эти обозначения, преобразуем последнее равенство к виду
ст
Тогда получим условие прочности по теории Мора
