Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
балки. Для этого воспользуемся формулой для определения кривизны
нейтрального слоя при изгибе
Формулу (9.2) читают так: кривизна балки в рассматриваемом сечении
пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна ее
жесткости.
Из курса высшей математики известно, что кривизна плоской кривой у =f(x)
определяется по формуле:
кривой у=у(х), то ее кривизна в каждой точке может быть вычислена через
первую и вторую производные от этой функции.
Приравняв правые части уравнений (9.2) и (9.3) получим точное
дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
1 _ М(х) Р~ EJz
(9.2)
1 Щх)
~ Г V i "|3/2 77 Г
(9.3)
\ил у
Из этой формулы следует, что если известно уравнение
^ dx j
dxt = М(х)
V 1 "|3/2 77 Г
(9.4)
^ dx j
130
Это уравнение можно упростить. Учитывая, что в реальных конструкциях
перемещения невелики и что тангенсы углов наклона
- касательной к оси будут малы, квадратом первой производной в
dx
'фЛ dx
Тогда получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии
балки.
знаменателе
по сравнению с единицей можно пренебречь.
d1 у М{х)
(9.5)
dx EJZ
Это уравнение связывает перемещения, изгибающий момент в сечении и
жесткость поперечного сечения при изгибе. Из него следует, что упругая
линия может быть найдена, если известен закон изменения изгибающего
момента по длине балки.
9.3 Определение перемещений методом непосредственного интегрирования
дифференциального уравнения упругой линии балки
Уравнение (9.5) дает возможность вычислить линейные и угловые перемещения
сечений. Первое интегрирование уравнения (9.5) определяет закон изменения
углов поворота сечений по длине балки:
6{х) = - = f ^-dx + С. dx 3 EJ
Второе интегрирование приводит к уравнению упругой линии
р р .Л^
y(jc) = I dx I -dx + Cx + D.
EJ
Для вычисления интегралов необходимо сначала написать аналитические
выражения изгибающего момента и жесткости. Постоянные интегрирования С и
D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления
балки. Если балка лежит на двух опорах, то прогибы над опорами равны
нулю. В защемлении прогиб и угол поворота равны нулю.
Рассмотрим пример. Найти перемещения консоли постоянного сечения,
загруженной на свободном конце силой Р (рис. 9.3). В защемлении возникает
вертикальная реакция VA = Р и изгибающий момент МЛ = Р1.
Начало координат поместим на левом конце балки. Изгибающий момент в
произвольном сечении, расположенном на расстоянии х от начала координат
131
Af (jc) = VAx - M A =Px-PI
Тогда
d2y Px-Pl
(a)
dx EJZ
Учитывая, что жесткость балки постоянна, интегрируя уравнение (а) первый
раз получим
EJ - = Р--Р1х + С. (б)
2 dx 2 w
Интегрируя еще раз, будем иметь
EJzy{x) = у у - Р/у + Сх + D. (в)
Используем граничные условия. При х = 0, т.е. на левом конце балки, в
заделке угол поворота и прогиб равны нулю.
EJ-
dx
= 0, EJy(x)\x=o =0.
х=0
Подставив эти значения сначала в уравнение (а), а затем в уравнение (б),
получим:
С = 0 и В= 0.
Итак, имеем:
1) уравнение углов поворота
EJ0(x) = ^x2 -Plx (г)
2) уравнение упругой линии
EJy(x) 4*3 ~^-х2. (д)
6 2
Эти уравнения дают возможность определить перемещения в любом сечении
балки в зависимости от х.
132
Максимальный прогиб балки и максимальный угол поворота будут на правом
конце при х = I. Подставив это значение в уравнения (г) и (д), получим:
Р12
EJ6.
тах| х=1
EJy,
max| x=i
й =_
2 2 '
= у =
1 1 ' ./max
2 EJZ P/3 3PJ
6 2 3
Знак "минус" в выражении угла поворота свидетельствует о том, что поворот
сечения происходит по часовой стрелке, минус в выражении прогиба
показывает, что прогиб происходит вниз (не совпадает с положительным
направлением оси у ).
Рассмотрим балку, показанную на рис .9.4.
Она имеет три участка. Чтобы получить уравнение упругой линии надо
записать выражения изгибающего момента для каждого участка и дважды их
интегрировать. Для определения шести произвольных постоянных надо
записать шесть граничных условий, два из которых записываем из условий
закрепления балки:
4,-0 =°> /L=°
Остальные уравнения вытекают из условий непрерывности и плавности упругой
линии: прогиб, угол поворота в конце первого участка (сечение С) будут
такими же, как прогиб и угол поворота в начале второго участка. Такие же
условия надо использовать и на границе второго и третьего участков
(сечение D). Выполняя эти условия, получим шесть уравнений с шестью
неизвестными, которые необходимо совместно решить. Задача очень
усложняется,
133
поэтому не будем доводить ее до конца. Как видим, если балка по условиям
нагружения разбивается на п участков, то для определения постоянных
интегрирования надо составить и решать систему 2п уравнений. Совместное
решение уравнений позволит найти постоянные и получить для каждого
участка уравнение прогибов и углов поворота. Однако необходимость решения
совместных уравнений очень сильно осложняет задачу, поэтому
непосредственное интегрирование применяют только в тех случаях, когда
число участков невелико (один-два).
