Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
(точки 2 и 3) будем считать, что эти точки расположены бесконечно близко
одна от другой, но точка 2 - принадлежит полке, а точка 3 - стенке.
121
В точке 2 ширина сечения равна Ь, а статический момент определяется
статическим моментом полки с размерами bxt. Для точки 3 статический
момент остается таким же, но ширина сечения равна d, поэтому касательные
напряжения резко возрастают. Наибольшие касательные напряжения возникают
на нейтральной оси, где S^c достигает максимального значения.
в) для круглого сечения (рис.8.13) формула Журавского для вертикальной
составляющей касательного напряжения может быть записана в виде
- 4бл У
3 F
<* *>
4Q
3 F
Как видно, эпюра т получается параболической. В наиболее удаленных точках
от нейтральной оси при y = ±i?,x=0. Наибольшие касательные напряжения
будут в нейтральном слое при у = О
X =42
шах j-,
3 F
На рис.8.14 показан вид эпюр для некоторых других сечений.
122
Анализируя эпюры касательных напряжений можно сделать следующие выводы:
1) вид эпюры т зависит от формы поперечного сечения,
2) касательные напряжения по сечению распределяются неравномерно и
максимального значения достигают чаще всего на нейтральной оси сечения.
8.7 Расчет балок на прочность по касательным напряжениям
При изгибе балок кроме расчета на прочность по нормальным напряжениям
производится расчет на прочность по касательным напряжениям. Расчет
выполняется для сечения, где действует Qmax
Условие прочности имеет вид:
где [т ] - допускаемое касательное напряжение. Для стальных балок.
[т ]" 0,б[ст ].
Для балок прямоугольного сечения
=}\QrJ\ г1
у шах 2 р> L J
Для балок круглого сечения
= 4feJ г ]
шах л 7-" - L J
3 F
Для балок двутаврового сечения
_ 6maxr"^zmax__Г 1
max =--77------МП*
dJz
Как правило, в длинных балках сплошного сечения касательные напряжения
значительно меньше нормальных напряжений. Для таких балок расчет на
прочность по касательным напряжениям выполняется как проверочный.
8.8 Исследование напряженного состояния балок при поперечном изгибе.
Расчет на прочность по главным напряжениям
Наблюдения показывают, что в процессе эксплуатации в балках появляются
трещины, имеющие различную ориентировку: поперечные продольные и
наклонные.
Расположение и направление этих трещин указывает причину, их вызывающую.
Вертикальные трещины появляются у нижнего или верхнего края балки в зоне
наибольшего изгибающего момента. Это свидетельствует
123
о том, что причиной их появления являются нормальные напряжения
^ max '
Горизонтальные трещины в однопролетных балках чаще всего появляются над
опорами, т.е. в зоне, где возникают Q^, и располагаются они по оси балки.
Следовательно, причиной их появления являются касательные напряжения т
тах
Но возможен и третий случай, когда причиной повреждения балки являются
наклонные трещины, занимающие промежуточное положение между краем балки и
осью. Их появление нельзя объяснить действием или нормальных или
касательных напряжений.
Поэтому рассмотрим, в каком напряженном состоянии находится материал
балки при плоском поперечном изгибе. В качестве примера возьмем балку
прямоугольного поперечного сечения, загруженную сосредоточенной силой
(рис.8.15).
На рис.8.16а показан фасад балки и эпюры Q и М, на рис.8.15б -поперечное
сечение балки и эпюры нормальных и касательных напряжений в сечении под
силой. Вырежем из балки в окрестностях некоторых точек элементарные
кубики, одна из граней которых совпадает с плоскостью поперечного
сечения. Рассмотрим, какие напряжения действуют по граням кубиков.
Р/2
и Р/2
Р/2 И м
Р/2
Q
Р1/4
М
Рис.8.15
124
Элементы 1 и 2 выделены у крайних точек сечения, здесь т =0, ст =СТтах и
элементы испытывают простое растяжение или сжатие, т.е. находятся в
линейном напряженном состоянии. Поэтому условие прочности для них
СТ _ < Гст 1
imx w L J
Элемент 3 выделен у точки нейтрального слоя балки, где ст = 0, а т =ттах.
Поэтому на гранях элементарного кубика действуют только касательные
напряжения. Элемент испытывает чистый сдвиг.
Условие прочности имеет вид:
_ _ Q^zmax < Гт 1
Ы _И'
На гранях элемента 4, выбранных произвольно, будут действовать и
нормальные и касательные напряжения, знак и величина которых определяются
величиной Q и М, и расположением элементов. Эти элементы находятся в
плоском напряженном состоянии, при котором главные напряжения определяют
по формулам:
cjj + л/ст2 + 4т2 ,
ст2 =0,
ст3 = - |ст -л/ст2 +4т2 .
2
Внося величины напряжений ст, и ст3 в выражения для эквивалентных
напряжений по различным теориям прочности, получим условия прочности по
главным напряжениям. Для расчета балок из пластичных материалов
рекомендуется пользоваться условиями прочности, полученными по III и IV
теориям, т.е.
<*экв = Уст +4т2 <[ст],
<*экв=^2+3*2^ [о].
Из этих зависимостей видно, что главные напряжения будут иметь большую
величину в таких точках балки, в которых имеются одновременно большие
