Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зозуля В.В. -> "Механика материалов" -> 32

Механика материалов - Зозуля В.В.

Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов — Х.: Национальный университет внутренних дел, 2001. — 404 c.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка): mehanikamaterialov2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 91 >> Следующая

9.4 Метод начальных параметров
Метод начальных параметров позволяет определять перемещения не прибегая к
решению сложных систем уравнений. Метод основан на применении
универсального уравнения упругой линии балки. Получим это уравнение.
Рассмотрим балку постоянной жесткости, загруженную положительными
сосредоточенными моментами, силами и равномерно распределенной нагрузкой.
Они считаются положительными, если вызывают в сечении положительный
изгибающий момент (рис. 9.5).
Начало координат возьмем на левом конце балки, ось х направим вправо, ось
у - вверх. Балка имеет ряд участков.
Рассмотрим первый участок. Для него:
d}y dx'
EJ- = Cl, dy
EJ{Xx) = Cj jc + Dl.
Второй участок al<x2<bl, M(x) = M]
Умножим изгибающий момент на величину равную единице: (.x-aj,
где а} - расстояние от начала координат до сечения.
0<JCj<aj, М(х) = 0, т.е. EJ-^y = 0.
134
У
х2
7' Pi
Му
Чк
III
IV
Cl
а2
42
I/
VI
VII
х
С2
Рис.9.5
Напомним, что всякая величина в нулевой степени равна единице
т2
М{х) = М](х-а]), EJ-у = M1(jc-a1)°.
dx
Интегрируем это уравнение, не раскрывая скобки
EJ- = Mj(jc - aj) + С2, dx
EJy(x)=M^X~^ + С2х + D2.
Постоянные интегрирования определим из условия, что упругая линия не
имеет разрывов и изломов и является плавной кривой. На границе первого и
второго участков имеем:
, откуда С, = С2 = С.
dy_ _dy_
dx Хо
Я*) =я*)|
х2=а2
откуда Dx = D2 = D.
Аналогично можно получить:
C, = С, = С3 =... = С,
D, = D2 = Д, =... = D
Определим физический смысл постоянных интегрирования С и ?). Если
обозначить угол поворота и прогиб в начале координат через в0 и у0, то
получим
135
С = EJ0o, D = EJy0
Эти выражения принято называть начальными параметрами.
Рассмотрим седьмой участок. Изгибающий момент на этом участке можно
записать так:
МО) = XX-(х-aj +J^Pi(x-bt) +ХЧг ^
i=1 i=i i=i 2
Подставим выражение изгибающего момента в приближенное дифференциальное
уравнение упругой линии и проинтегрируем дважды.
EJ^ = ±Ml(x-a,)+±Pl^^+±qi^L + Ejei
их i=1 i=1 2 i=1 О
3
xFM
О '
,4
2 (х-а)2 2 (x-b)3 2 (jc-c)4
EJy(*) = X xL + ?/> L_^2_ +2 ?1 Lii- + + Е/Л.
"•=1 2 j=i 6 i=i 24
Располагая члены уравнения по восходящим степеням и учитывая, что
количество нагрузок может быть произвольным, окончательно получим:
и . ч п (х - ъ )2 п (х - с )3
EJ9(x) = EJ90 + ?M,(* - а,)+ Ц-iL +??( L-xL
i=l i=l 2 j=l О
= EJ90x + EJy0+ ±M, +??,
,.i 2 Я 6 Я 24
Первое из этих уравнений называется универсальным уравнением углов
поворота поперечных сечений, второе -универсальным или обобщенным
уравнением упругой линии балки. Они позволяют определять угловые и
линейные перемещения любого сечения в зависимости от нагрузки и жесткости
балки. При использовании этих уравнений должны выполняться следующие
требования:
1. При определении прогиба и угла поворота произвольного сечения в
уравнения записываются слагаемые только для тех нагрузок, которые
расположены между началом координат и рассматриваемым сечением. Если
нагрузка относительно сечения создает положительный изгибающий момент, то
она входит в эти уравнения со знаком"+".
2. Распределенная нагрузка не должна прерываться. Если по условию задачи
распределенная нагрузка оканчивается (рис. 9.6, конец второго участка),
то ее следует продолжить до конца балки, добавив одновременно нагрузку
такой же интенсивности, но другого знака (компенсирующую нагрузку q* =
q). На рис. 9.6 добавленная и компенсирующая нагрузки показаны пунктиром.
136
3. Если начало координат расположено на левом конце балки, то
положительным будет угол поворота сечения против часовой стрелки. Если же
начало координат взято на правом конце балки, то положительным будет угол
поворота сечения по часовой стрелке. Линейное перемещение вверх будет
положительным, независимо от того, где расположено начало координат.
4. Жесткость балки должна быть постоянной на всех участках.
5. Начало координат единое для всех участков.
6. Ось прямолинейная.
В универсальное уравнение упругой линии балки входят начальные параметры
у0 и 0О. Значения начальных параметров находят на основании граничных
условий в опорных сечениях балки. Если начало координат взять на жестко
закрепленном опорном сечении, то начальные параметры будут равны нулю (у0
=0, <90=0). Поэтому для консольной балки, имеющей жесткую опору, начало
координат обязательно нужно помещать в этом сечении.
Если начало координат находится в сечении на шарнирной опоре, то Уо=0>
0о*О. Если же концевые сечения балки не являются опорными сечениями, то
начальные параметры отличаются от нуля и их нужно определять. С этой
целью в общем виде находят прогибы в опорных сечениях и, приравняв их к
нулю, получают уравнения для определения начальных параметров.
Пример. Определить прогиб и угол поворота сечения К (рис.
9.6).
и ч in
1 1^4^ 1 | 1 1 1 1 1 1 1 1 г т т т Ў тЎЎ
X
& а * / / / ъ * ' ч / к Ж Ж Ж Ж ЖЖ^ 1 1 1 1 1 1 1 I С / р
Рис.9.6
Начало координат целесообразно взять на левом конце балки, осьх направить
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed