Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
эквМ СТ1 9 + . Q UJ II 'аГ +
ст
L J
Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, т.е. [ст+] =
[ст_], теория прочности Мора совпадает с третьей теорией.
ВЫВОДЫ:
Таким образом, разрушение материала может происходить путем отрыва одной
части от другой и путем среза. Как правило, разрушение путем отрыва
происходит хрупко, без заметных остаточных деформаций. Разрушение путем
среза сопровождается пластическими деформациями. Поэтому первую и вторую
теории можно применять для оценки прочности хрупких материалов, а третью
и четвертую - пластических. Теория Мора позволяет учитывать разное
сопротивление материала растяжению и сжатию.
107
ГЛАВА 8
ИЗГИБ
8.1 Деформации при изгибе и основные допущения
Очень часто стержень подвергается действию поперечной нагрузки, плоскость
действия которой проходит через ось стержня. Такой вид деформации
называется изгибом (рис.8.1)
Ра
Ра
Рис .8.1
Если все нагрузки лежат в одной плоскости, называемой силовой, и эта
плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки, то изгиб
называется плоским. При плоском изгибе ось балки и после деформации
остается в силовой плоскости.
Если в сечении балки возникает только один изгибающий момент, то изгиб
называется чистым (CD - участок чистого изгиба, рис.8.1). Если в сечении
кроме изгибающего момента возникает и поперечная сила, то такой изгиб
называется поперечным (участки CD и DB).
Рассмотрим плоский чистый изгиб прямого стержня. Если на его боковую
поверхность нанести сетку в виде продольных и поперечных прямых
(рис.8.2а), то при изгибе можно заметить следующее (рис.8.2б):
1) продольные линии искривляются по дуге окружности;
2) поперечные линии остаются прямыми и только поворачиваются относительно
друг друга; отсюда можно сделать
108
вывод, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и после
деформации, то есть справедлива гипотеза плоских сечений.
3) верхние волокна укорачиваются (аг <а), а нижние удлиняются (а2>а).
Между ними расположены волокна, не изменяющие свою длину. Они образуют
нейтральный слой.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения
называется нейтральной линией или нейтральной осью.
При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендикулярным к
силовой плоскости, и значит, нейтральная линия также перпендикулярна к
ней. Будем считать, что ось Z проведена в сечении так, что она совпадает
с нейтральной линией (но положение ее по высоте сечения пока неизвестно
);
4) расстояния между продольными линиями А не изменяются. На основании
этого можно предположить, что продольные волокна не нажимают друг на
друга и не стремятся оторваться одно от другого, то есть каждое волокно
испытывает простое растяжение или сжатие.
109
8.2 Определение напряжений при чистом изгибе
В сечении балки, взятом на участке чистого изгиба, возникает только один
изгибающий момент
Mz=j<jydF (8.1)
F
Следовательно, в сечении действуют нормальные напряжения ст (рис.8.3).
Продольная сила N и изгибающий момент Му будут равны нулю, то есть
N = \g(IF = 0 (8.2)
F
Му = jaZdF = 0 (8.3)
F
Из формулы (8.1) нельзя определить величину нормальных напряжений ст ,
так как неизвестно, как они распределены по сечению. Задача определения
напряжений в сечении является статически
неопределимой. Воспользуемся выводом о том, что отдельное волокно при
изгибе испытывает простое растяжение или сжатие. Тогда для него можно
записать закон Гука как при растяжении
а - Ее (8.4)
Чтобы найти относительную деформацию с на участке чистого изгиба
выделим элемент балки длиной dx и рассмотрим его
деформацию (рис.8.4).
110
Сечения тп и остаются плоскими и поворачиваются на угол dcp. Волокна
нейтрального слоя искривляются, радиус кривизны нейтрального слоя р.
Длина волокон нейтрального слоя не изменяется.
dx = 00, = pd(p
Рис.8.4
Волокно АВ, расположенное на расстоянии у от нейтрального слоя,
удлиняется, радиус его кривизны р + у.
Относительное удлинение волокна
АХВХ - АВ _ (р + y)dq> - dx _ (р + y)diр - pdy _ у АВ dx pdx р
'
с =
111
то есть
Тогда
ст = Ег = Е
У
(8.5)
(8.6)
Подставим выражение (8.6) в зависимость (8.1):
Е
Mz = \cydF= \E^-ydF = -\y2dF
F F P P F
Учитывая, что jy2dF = Jf представляет собой момент инерции
F
сечения относительно оси Z, можно записать
откуда
M,=-EJ
Р
1 АГ_
Р EJZ
Величина EJz нназывается жесткостью поперечного сечения при изгибе.
Кривизна волокон нейтрального слоя прямо пропорциональна изгибающему
моменту и обратно пропорциональна жесткости поперечного сечения при
изгибе.
Из формулы (8.7) видно, что если балка изготовлена из однородного
материала (Е = const) и имеет постоянное сечение (Jz = const), то при
чистом изгибе {Mz = const) ее ось искривляется по
/ 1 ч
дуге окружности ( - = const, и значит р = const ).
р
Подставим в формулу (6) значение кривизны.-. Получим
Р
Mzy
17 М*
ст = Еу = Еу-у-Р EJZ
(8.8)
Это и есть искомая формула, дающая возможность определять нормальные
