Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
напряжения при чистом изгибе балки в произвольной точке поперечного
сечения. Из формулы видно, что нормальные напряжения по сечению
распределяются неравномерно. Какую бы форму и размеры не имело сечение,
напряжения в точках нейтральной оси равны нулю (при у = 0, ст=0).
Величина ст линейно возрастает по мере удаления от
112
нейтральной оси, наибольшего значения нормальные напряжения достигают в
точках, наиболее удаленных от нейтральной оси при у = утах. Знак
напряжений определяется знаком изгибающего момента. При положительном
изгибающем моменте нижние волокна будут растянуты и ст > 0, а верхние
волокна сжаты и для них ст < 0.
Осталось только установить, где в сечении расположена ось z -нейтральная
ось сечения. Для этого используем условия (8.2) и (8.3), подставив туда
значения ст из формулы (8.8).
N = jadF = j^-dF = ^ j ydF = 0
F F Jz Jz F
My = JctzdF = J zdF - { yzdF = 0
f f Jz Jz f
Поскольку - * 0, a J ydF = Sz и J yzdF = Jyz, to
Jz F F
Sz=0, Jyz = o
(8.9)
На основании этого заключаем, что ось z - нейтральная ось -проходит через
центр тяжести сечения, а оси у и z - главные центральные оси сечения. То
есть при плоском изгибе, когда силовая плоскость совпадает с одной из
главных плоскостей стержня, нейтральный слой совпадает с другой главной
плоскостью.
Эпюра напряжений для любых сечений, имеющих горизонтальную ось симметрии,
всегда будет иметь вид, представленный на рис.8.5
к ьу
I- J
2 ч
Рис.8.5
При положительном изгибающем моменте все волокна, расположенные выше
нейтральной линии, окажутся сжатыми, а ниже ее - растянутыми. Если же
изгибающий момент будет отрицательным, то изменятся и знаки напряжений.
113
Максимальные напряжения получим, подставив в формулу (8.8)
У = .У max
МУ]
? max__________
м
77
Уп
Отношение осевого момента инерции к расстоянию от нейтральной оси до
наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом
сопротивления, т.е.
Л
Wz =
Уп
(8.10)
Момент сопротивления измеряется в см3 и зависит от формы, и размеров
поперечного сечения.
Тогда
(8.11)
Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то расстояния от
нейтральной оси до крайних нижних и крайних верхних волокон различны
(рис.8.6)
Эпюра СТ
Рис.8.6
Обозначим их соответственно через hc и hp. Тогда напряжения в
крайних волокнах выразятся формулами
Mh" Mh
8.3 О рациональной форме поперечного сечения при изгибе
Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы о рациональной
форме сечения при чистом изгибе. Так как напряжения в сечении
распределяются неравномерно, то материал, расположенный у нейтрального
слоя, нагружен очень мало. Поэтому в целях его экономии и снижения веса
конструкций для деталей, работающих на изгиб, следует выбрать такие формы
сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной оси.
Если материал конструкции одинаково работает на растяжение и сжатие
(например, сталь) рациональными будут симметричные относительно
нейтральной оси сечения. Близким к идеальному, яв-ляется двутавровое
сечение, хуже будет сечение в виде пря-моугольника. Деревянные балки чаще
всего имеют прямоугольное сечение, так как изготовление деревянных
двутавровых балок по-требует большой затраты труда. Нерационально круглое
сечение, так как вес балки такого сечения почти в 4 раза превышает вес
двутавровой балки, имеющей ту же прочность. Поэтому выбор круглого
сечения может быть оправдан только конструктивными или технологическими
соображениями (например, для вращающихся деталей), причем в таком случае
выгоднее ставить полое сечение.
Для балок из хрупких материалов (чугун, бетон) целесообразно использовать
сечения несимметричные относительно нейтральной оси. Хрупкие материалы
хорошо работают на сжатие и значительно хуже на растяжение. Поэтому,
выбирая форму сечения можно добиться того, чтобы нейтральная линия была
сдвинута в сторону растянутой зоны и сттах в растянутой зоне было
значительно меньше а тах в сжатой зоне, как показано на рис.8.6.
8.4 Расчет на прочность по нормальным напряжениям
Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы максимальные нормальные
напряжения в опасном сечении, т.е. в сечении, где изгибающий момент
наибольший, не превосходили допускаемой величины. Условие прочности при
изгибе по нормальным напряжениям для симметричных относительно
нейтральной оси сечений имеет вид:
(8.13)
115
Для балок из хрупких материалов надо составлять два условия прочности -
для сжатой и растянутой зоны отдельно:
\МАК < [0_] и < [а+] (8.14)
Здесь [ст_] и [ст+] - допускаемые напряжения на сжатие и растяжение.
Зависимости (8.13) и (8.14) позволяют делать три вида расчетов на
прочность:
1) проверочный расчет, при котором вычисляются максимальные напряжения и
сравниваются с допускаемыми значениями;
2) проектировочный расчет, т.е. подбор сечений;
3) определение величины допускаемой нагрузки.
При подборе сечений прокатного профиля необходимо определить требуемый
момент сопротивления
