Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
91
наклоненным под углом 45° к соответствующим главным площадкам.
Касательные напряжения на этих площадках равны радиусам кругов Мора и
определяются формулами
Максимальные касательные напряжения гтах = г13.
6.8 Деформированное состояние
Опыт показывает, что под действием внешних сил элементы конструкций и
машин изменяют свои первоначальные размеры и форму. Эти изменения
характеризуются деформациями и перемещениями тела. Перемещения упругих
тел могут быть двух видов: а) перемещения как абсолютного твердого тела;
б) перемещения отдельных точек тела, обусловленных деформациями
материала. Первый вид перемещений рассматривается в теоретической
механике. В сопротивлении материалов, как правило, рассматриваются
конструкции, в которых исключаются такие перемещения. Возникающие в них
перемещения вызваны деформациями тела.
Для исследования деформированного состояния рассмотрим элемент ABCD
(рис.6.10), который после деформации тела перешел в состояние А'В'CD'.
Переход от начального состояния в конечное может быть осуществлен за счет
изменения длины сторон (без изменения углов между ними) и за счет
изменения углов (без изменения длин).
Пусть до деформации длина элемента АВ была равна dx, а АС - dy, угол
между ними равен 90° и ориентированы они в направлении осей Ох и Оу
соответственно (рис.6.11). Пусть после деформации точки А, В и С заняли
положение А\ В\ С Перемещения точки А в направлении оси Ох равно и, оси
Оу - v, а
перемещения точек В иС соответственно:
du , dv
рис.6.10
Рис.6.11
Тогда линейные деформации элементов АВ и АС определяются в виде
и'-и du v'-v dv
s =-----= -, s =
dx dx y
dy dy
Угловые деформации, т.е. изменение углов ух и у2 (рис.6.11)
равно
Гх =
dv
dx
dx
, du ,
dx-\ dx
dx
dv
dx
93
7i =
du
dy
dy
du
dy
j dv , dy + - dy dy
Угол сдвига между элементами AS и AC
du dv
7.
xy
V + V =-----------+----
dx dx
При выводе этих соотношений мы
du
перемещения и углы поворота малы, т.е. - "1.
dx
учитывали, что tgY\ *7\->
du - "1. dy
tgYi ~ Yi ¦
Аналогично линейные деформации в направлении оси z и углы сдвига в
плоскостях xOz и yOz определяются формулами
dw du dw dv dw
Gz=~r\ YXz =~T + ~T' Yyx = ~T + ~T' dz dz ax dz dy
Таким образом деформированное состояние характеризуется величинами ех, е
, sz, у , yyz, уа, а выражения, связывающие их с
компонентами вектора перемещений и, v, w, называются соотношениями Коши.
Часто при исследовании деформаций необходимо определить
линейную деформацию в направлении составляющем угол а с осью Ох.
Рассмотрим отрезок АВ, который деформируется в плоскости хОу и
занимает положение А'В' (рис.6.12). Компоненты вектора перемещения
точки А в направлении осей OxwOy равны и, v и точки Б
du , du , dv , dv ,
ил с1хл dy; vл аул dx
dx dy dy dx
Длина отрезка АВ до деформации равна ds деформации
а после
ds' - ds +
du , du ,
- dx л------------------dy
dx dy
\ r
cosa +
dv , dv ,
- dx л dy
dx dy
sina
Тогда деформация отрезка АВ в направлении, определяемом углом а равна
ds'-ds
ds
rdu dx ^du dy''
dx ds dy ds
cosa +
rdv dx ^dv dy''
dx ds dy ds
sina
Л t dx dy rr
Учитывая, что - = cosa, - = sina из соотношения Коши
ds ds
получим
sa = sx cos;2 a + ?y sin2 a + у sin a cos a
94
Если заменить
У.
ху
на
1
2
Zху Г, Уху.
то эта формула будет
полностью совпадать с выражением для сга. Таким образом, деформация в
точке характеризуется тензором деформаций
ху
Как и тензор диагональному виду
ух у
напряжений
его можно привести к
О
О
где ех и е2 - главные деформации.
Аналогично в трехмерном случае деформация в точке также определяется
тензором деформаций, который можно представить в общем или диагональном
виде
е*у Gxz 0 0
?У* Бу ?yz 0 0
?ТХ ?zy ?z 0 0 Еъ
Вычислим относительную объемную деформацию тела. Для этого рассмотрим
элементарный параллелепипед. Размеры сторон его до деформации равны dx,
dy, dz. После деформации их размеры равны dx + Adx, dy + Ady, dz + Adz.
Начальный объем V0=dxdydz, а после деформации
95
V] = {dx + Adx\dy + Ady\dz + Adz) = V0 (l + sx )(l + s j(l + sz)
Раскрыв скобки и учитывая, что деформации малы, т.е. пренебрегая
произведениями exey...eyez найдем относительное изменение объема
Таким образом в является первым инвариантом тензора деформаций.
6.9 Обобщенный закон Гука
Приведенные выше формулы теории напряженного и деформированного состояния
применимы как для упругих, так и неупругих тел. Для решения контактных
задач необходимо знать количественные зависимости между напряжениями и
деформациями. Рассмотрим их для случая линейно упругих, изотропных тел.
Выделим из деформированного тела элементарный куб к граням которого
приложены главные напряжения сг,, <т2, <т3. Применяя принципы
независимости действия сил, будем считать, что на выделенный элемент
действуют только напряжения сг,, т.е. сг^О, <т2=сг3 = 0. Тогда он будет
находиться в линейном напряженном состоянии. На основании закона Гука для
линейного напряженного состояния
