Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
напряжениям ах и <т2. Для определения направления главных площадок из
точки Dx проведем прямую параллельно оси сг до пересечения с окружностью
в точке М, которая называется полюсом. Прямые, проведенные из полюса в
точки А и В, соответствуют направлению главных напряжений стх и <т2
соответственно.
Второй тип. Пусть известны главные напряжения сг, и сг2 . Требуется
определить напряжения на площадках, направленных под углом а к главным.
Решение. Вдоль оси сг (рис.6.6) отложим отрезки О А и ОВ, соответствующие
главным напряжениям сгх и <т2.
Рис. 6.6
87
На отрезке АВ, как на диаметре построим окружность напряжений Мора. Из
центра окружности (точка С) отложим центральный угол 2а с осью сг и
проведем прямую до пересечения с окружностью в точках Da и Dp. Координаты
этих точек и
соответствуют напряжениям на площадках, повернутых на угол а и /?=/'2 +а
и площадке, на которой действует главное напряжение
ctj . Положения этих площадок получим проведя из точки В прямые до
пересечения с окружностью в точках Da и Dp.
6.7 Объемное напряженное состояние
Как отмечалось в предыдущей лекции, в общем случае напряженного состояния
на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки
нагруженного тела, действует девять компонент тензора напряжений. В силу
закона парности касательных напряжений независимыми являются только шесть
из них.
Вычислим напряжения на произвольной площадке ABC с вектором нормали v в
окрестности произвольной точки О (рис. 6.7). Обозначим (рис.6.7)
направляющие косинусы вектора нормали v к площадке ABC величинами 1,т,п.
I = cos(va), т = cos(vy), п = (vz)
Проекции полного напряжения Ру, действующего на площадке ABC, на
координатные оси обозначим Рш,Рху,Рк;- Для их определения
составим уравнения равновесия четырехгранника, выделенного координатными
плоскостями и плоскостью ABC в окрестности произвольной точки
нагруженного тела (рис.6.7)
Лрх=°- pJF - crxdFx - ryxdFy - rJFz = О ^Ру = 0: PyydF - TxydFx - aydFy -
z^dFz = 0 ?PZ = 0: PJF - rxzdFx - ryzdFY - crzdFz = 0
Площади граней элементов связаны между собой з ависимостями
dFx = dFl, dFy - dFm, dFz = dFn.
Учитывая это получим
рух=°х1 + *ухт + *ясп
PV=TXyl + (TXm + TZxn
Pv=*J + *yZ(tm) + °zn Нормальные напряжения найдем составив сумму проекций
на направление нормали
88
°v=PJ + Pvm + PKn или с учетом выражения для Pw, Р , Рк.
Полное напряжение на площадке равно
Р = 1р2+р2+р2
Гу ^/гис Т rvz
а касательное
Определение главных напряжений Пусть площадка ABC (рис.6.7) - главная, а
нормаль к ней v совпадает с
главной осью. Касательные напряжения на этой грани отсутствуют, а
нормальное сг совпадает с полным. Проекции этого напряжения на оси
координат равны
Pu<=d, Рху=СЛП, Рк=ОП.
Учитывая выражении для Рш, Р , Рк. получим
{(Тх-(Т)1 + Ту/П + ТаП = О
Tj + (cry-o)m + Tan = Q
*J + *yz(tm) + (°z-°')n = 0 Эти равенства можно рассматривать, как
однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно l,m,n.
В силу того, что направляющие косинусы связаны соотношениями
89
I2 +т2 +п2 = 1 нулевое решение этой системы невозможно. Нулевое решение
возможно только в том случае, когда определитель, составленный из ее
коэффициентов обращается в нуль, т.е.
сг -сг Т т
х ух zx
Т СГ -СГ Т
ху у ZX
т та -а
xz yz Z
= 0
Раскрыв этот определитель, получим кубическое уравнение относительно
главного напряжения сг:
сг3 - 1хсг2 + 12сг - /3 = 0
где Ix=crx+cry+crz
I2=<7x<7y+°y<7z+<7z<7x-T2Xy-T2yZ-Tl
I, = сг сг сг +2т т т -сг т2 -сг т2 -сг т2
3 х у z ху yz zx х yz у zx z ху
В силу симметрии определителя относительно главной диагонали,
соответствующее ему кубическое уравнение имеет три действительных корня,
три главных напряжения сгх > сг2 > сг3.
Главные напряжения в точке нагруженного тела не зависят от выбора системы
координат. Поэтому
/, = const, /2 = const, /2 = const и называются соответственно первым,
вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. Их можно представить в
виде
/j = CTj + сг 2 + сг ^
12 ~ ^1^2
h = &\&2&3
В случае объемного напряженного состояния напряжения также можно
представить графически. Если рассмотреть наклонные площадки, параллельные
одному из главных напряжений, то для них справедливы формулы для плоского
напряженного состояния. Действительно, из рис.6.8 видно, что напряжения
<т3 не влияет на величину напряжений сга и та действующих на площадке
параллельной сг3. Тогда напряжения на таких площадках можно представить
графически, построив круг Мора на главных напряжениях сг, и сг2.
Аналогично можно представить графически напряжения на наклонных площадках
параллельных ах и сг2, как показано на рис.6.8. Однако, точки
расположенные на этих трех кругах не исчерпывают всех наклонных площадок
в точке нагруженного тела.
90
Рис. 6.9
Можно показать, что площадкам общего положения соответствуют точки на
плоскости (сг,т), лежащие в
заштрихованной области между тремя кругами Мора. Точки, являющиеся
вершинами этих кругов соответствуют площадкам
