Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
на которых касательные напряжения равны нулю. Они называются главными
площадками, а нормальные напряжения действующие на этих площадках -
главными напряжениями. Главные напряжения обозначают сг,, <т2,<т3; при
этом индексы выбираются так, чтобы выполнялись в алгебраическом смысле
неравенства сг, > сг2 > сг3.
Если только одно главное напряжение отлично от нуля, то напряженное
состояние называется одноосным или линейным, только два -двуосным или
плоским, три - трехосным или объемным.
6.4 Линейное напряженное состояние
Рассмотрим стержень, растягиваемый силами, действующими вдоль его оси. В
поперечных сечениях стержня, достаточно удаленных от точек приложения
сосредоточенных сил, нормальные напряжения распределяются равномерно и
определяются формулой
N
а касательные напряжения равны нулю. Следовательно, эти сечения являются
главными площадками. Напряжения на площадках параллельных оси стержня
равны нулю, т.е. элементы стержня находятся в линейном напряженном
состоянии.
Определим напряжения на наклонных площадках. Проведем сечение стержня
так, чтобы его внешняя нормаль составляла угол а с осью стержня. Угол а
считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки.
Действующие на наклонной площадке Fa напряжения обозначим: Ра - полное ,
аа - нормальное, та - касательное (рис.6.3). Составим уравнения
равновесия отсеченной части стержня
83
Откуда
PaFa =°xF,F = Facosa
Pa =<TX cosa
Проектируя Pa на направление нормали и касательной к сечению получим
(7а = Ра cos а = (тх cos а
т" - Р" sin а - -sin 2а 2
Из последнего равенства видно, что гтах = - при а = - .
6.5 Плоское напряженное состояние
Многие элементы конструкций находятся в условиях плоского напряженного
состояния. В этом случае отличными от нуля являются 4 из 9 компонент
тензора напряжений (рис.6.4а), т.е.
т т
х ху
Г СГ
ух у
Для определения напряжений на наклонных площадках рассмотрим
призматический элемент, изображенный на (рис.6.4а). Спроектируем все
силы, действующие на него, последовательно на направление нормали и
касательной к наклонной площадке.
cradFa - crxdFx cos а - crydFy sin a - TxydFx sin a - TyxdFx cos a = 0
TadFa + crxdFx sin a - crydFy cos a - TxydFx cos a + TyxdFy sin a = 0
Учитывая, что
dFx = dFa cos a, dFy = dFa sin a
найдем
<ja = crx cos a + cry sin а-т sin2a
<jx - (T
г =--------------------------- sin 2a + г cos 2a
Ct r\ xy
Для определения положения главных площадок следует положить, что та=0.В
результате получим
2 г.
tg2a0 =
ху
сг -сг
X у
Формулы для главных напряжений Найдем формулы для определения главных
напряжений через напряжения, действующие на произвольных площадках. Для
этого предположим, что площадка dF - главная и на ней действует главное
напряжение сг, а та = 0. Спроектируем все силы действующие на выделенный
элемент на оси jc и у соответственно. В результате получим
crdFa cos а - crxdFx - TxydFy = О crdFa sin a - crydFy - ryxdFx = 0
Учитывая зависимость между dFa, dFx и dFy, получим
(сгх - cr) cos a + sin a = 0 т cosa + (cry -cr)sina = 0
Это однородная система линейных алгебраических уравнений относительно sin
а и cosa. Так как sin2 а + cos2 а = 1 ,то
det
ух
ху
сТу-О
= 0
Это квадратное уравнение относительно сг, корни которого имеют вид
o-i =
СГ +СГ
х у
2
ху
2 2
Исследуем при каком значении угла наклона площадок а действующие на них
нормальные напряжения достигают экстремальных значений Для этого
продифференцируем ста по а и приравняем производную к нулю. В результате
получим
dcr
______I
da
сг -сг
- = 2(-^-- sin 2а + т^ cos 2а) = 2та
85
Следовательно нормальные напряжения достигают экстремума на тех
площадках, где касательные напряжения равны нулю, т.е. на главных
площадках.
Если известны главные напряжения, то напряжения на наклонных площадках
определяются в виде
сга - сг] cos2 а + сг2 sin2 а
та=-
^2 • о
------------ sin 2 а
6.6 Круг напряжений Мора
Зависимость напряжений от угла наклона площадки, на которой они
действуют, имеет простую геометрическую интерпретацию в виде диаграммы,
которая называется кругом напряжений Мора. Обозначим
(У Л СУ')
а
<т1 (Т2
R =
2 2
Тогда напряжения на наклонных площадках можно представить в виде
сга =а + R cos 2а ra=R sin 2а
Эти уравнения представляют окружность в параметрической форме
Действительно, они эквивалентны уравнению
О*a-af+Tl=R2 Используя круги Мора можно решать два типа задач.
Первый тип. Пусть известны напряжения сгх,(ту,тху на
произвольных площадках. Требуется найти главные напряжения ах, <т2 и
положение главных площадок.
Решение; По оси сг (рис.6.5) отложим отрезок ОКх , равный по
86
Из точки Кх в направлении оси т отложим отрезок KxDx, соответствующий
тху. Аналогично построим точки Ку и Dy, равные напряжениям сг и т = -т .
Соединив точки Dx и D . получим точку
ху
С пересечения отрезка DXD с осью сг. Вокруг точки С опишем окружность
диаметром DxDy. Это и будет окружность напряжений Мора.
Точки А и В пересечения окружности с осью сг соответствуют главным
