Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
г 1
По общим затратам ступенчатый стержень является самым экономичным.
5.8 Ступенчатый стержень
Это стержень, у которого сечение изменяется отдельными ступенями
(рис.5.18). Обычно их проектируют так, чтобы напряжения в конце каждой
ступени были одинаковы и равны [ст ].
Площадь первой ступени можно определить по формуле
78
= I_______
' [ПЬ'' [afl-A]
\ P\)
Если учесть, что на вторую ступень стержня действует сила />=[o]F"to
Рис.5.18
Очевидно, что формула для определения площади п -й ступени ступенчатого
стержня будет
J7 - р
Гп ~ и fl-^1 г hJ fi r,0 V [° ] J ... fl-^1 I l?]J
Если длины всех ступеней одинаковы, т.е. 1г = /2 =... = 1п = - = h,
п
ТО
J7 - P
Гп ~ И fl- yk ) I hJ n
Ступенчатые стержни широко используются в инженерной практике при
строительстве фундаментов, подпорных стен, штанг и тросов шахтных
подъемников и т.д.
79
ГЛАВА 6
ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
6.1 Понятие о напряженном состоянии в точке
Рассмотрим тело, находящееся в равновесии под действием пространственной
системы сил. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц
тела, т.е. деформировать его. Внутренние силы (напряжения) препятствуют
этому.
В соответствии с гипотезой сплошности, материал распределяется непрерывно
в теле, а расположенная в данной точке А частица взаимодействует с
другими частицами. В любой, сколь угодно малой окрестности содержится
бесконечное множество частиц. Поэтому напряжения распределяются
непрерывно и в разных направлениях, имеют различную величину.
Для исследования напряженного состояния тела выберем произвольную точку А
и, используя метод сечений, выделим в ее окрестности элемент в виде
параллелепипеда с гранями длиной dx, dy, dz, направленными вдоль
координатных осей x,y,z (рис.6.1). На гранях параллелепипеда действуют
внутренние силы, заменяющие действие отброшенной части тела.
Эти силы Рх, Р , Pz называются полными напряжениями. Здесь
индексы соответствуют нормали к площадкам, на которых действуют
напряжения. Так как выделенный элемент мал, то можно
80
считать, что напряжения на каждой грани распределяются равномерно.
Полные напряжения в общем случае не совпадают по направлению с нормалью к
площадке на которой они действуют. Разложим их по трем взаимно
перпендикулярным направлениям, совпадающим с координатными осями
(рис.6.2). Напряжение, перпендикулярное к плоскости обозначаются буквой
<т с индексом, соответствующим нормали к площадке, на которой они
действуют и называются нормальными. Два напряжения, расположенных в
плоскости обозначим буквой т с двумя индексами первый соответствует
нормали к площадке, второй - направлению действия напряжения. Эти
напряжения будем называть касательными. Так на площадке, перпендикулярной
оси X, действуют напряжения сгх, г ,
Г,- (рис.6.2).
Таким образом, на каждой грани выделенного элемента действуют три
компоненты полного напряжения. Совокупность напряжений, действующих на
трех взаимно перпендикулярных гранях можно представить в виде матрицы
которая называется тензором напряжений:
81
Правило знаков:
Нормальные напряжения считаются положительными, если они совпадают по
направлению с внешней нормалью к площадке, на которой они действуют
(вызывают растяжение), и отрицательными - наоборот.
Знак касательных напряжений связан с направлением осей координат. Если
внешняя нормаль к площадке совпадает с направлением координатной оси, то
на этой площадке касательное напряжение положительно, когда оно действует
в направлении соответствующей оси. Если же внешняя нормаль противоположна
направлению оси, то касательное напряжение положительно, если оно
действует в направлении противоположном своей координатной оси.
6.2 Закон парности касательных напряжении
Параллелепипед под действием приложенных к нему сил должен находится в
равновесии, а следовательно, должны выполняться уравнения равновесия
статики. Составим сумму моментов всех сил, приложенных к граням
параллелепипеда, относительно координатной оси Z.
?Mz= о
Из теоретической механики известно, что силы, пересекающие ось и
параллельные ей, не создают момента относительно этой оси. Напряжения сгх
и <т , действующие на противоположных гранях
создают моменты относительно оси Z равные по величине и противоположно
направленные. Поэтому соответствующее уравнение равновесия имеет вид:
Откуда следует:
т d d d -т d d d =0
xy у Z X yx X z у
T - T
xy уз\
Аналогично составляя уравнения равновесия относительно других
координатных осей
2Х= о 5Х = о
получим
т =т , т = г,
yz zy'xz zx
Эти равенства называют законом парности касательных напряжений. Он
гласит: на любых взаимно перпендикулярных площадках касательные
напряжения равны по величине и направлены так, что стремятся вращать
элемент в противоположные стороны.
82
6.3 Главные площади и главные напряжения
При изменении ориентации граней рассматриваемого элемента напряжения,
действующие на его гранях изменяются. При этом существуют такие площадки,
