Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
нуль при к = 0. Полное число электронов, которое требуется, чтобы
заполнить все уровни вплоть до прежнего волнового вектора Ферми к = kF,
есть
г=42(2г-и)т!г(М. (5.43)
i
Здесь принято во внимание, что имеется (21 + 1) состояний с данным I и
электрон может находиться в двух различных спиновых состояниях. Мы
положили это число электронов равным Z - разности валентностей примеси и
металла основной решетки, ибо для нейтрализации заряда примеси требуется
именно это число избыточных электронов по соседству с ней.
Равенство (5.43) выражает правило сумм Фриделя. Оно основывается на двух
общих положениях: электрический заряд примеси должен быть нейтрализован
избытком электронов в области конеч-
г]Ш
II I I 1)1
II I I I I I
_р----------|_,-_|-\ ]-----ч---i_j-ф_>.
Фиг. 93.
ных размеров; волновой вектор Ферми kF на больших расстояниях от примеси
должен быть таким же, как в чистом и однородном кристалле.
На использовании формулы (5.43) основан весьма полезный метод расчета
поперечного сечения рассеяния на примеси. Выберем некоторую функцию типа
экранированного кулоновского потенциала (5.29) и введем в нее подгоночный
параметр К. Вычислим сдвиги фаз и найдем то значение Я, при котором
удовлетворяется соотношение (5.43). Определив таким образом окончательно
значения сдвигов фаз rj(, мы можем найти затем сечение рассеяния с
помощью формулы (5.40). Эта процедура дает весьма удовлетворительные
результаты, не очень чувствительные к тому или иному конкретному выбору
вида функции 41 (г). Этот метод в принципе, несомненно, лучше, чем прямое
использование матричных элементов выражения (5.38), скажем, в борновском
приближении. Условия применимости последнего обычно не выполняются, так
как движение электронов проводимости оказывается слишком медленным.
Однако рассмотрим теперь распределение концентрации электронов, связанное
со сдвинутыми по фазе волнами типа (5.39). На больших расстояниях г от
атома для плотности избыточного
§ S. Правило сумм Фриделя
185
2л2
заряда мы найдем
кр
бр = е 2 (21 + 1) J {| фА. , (Л") Iя -1Ч>а. * (0) I2} =
I о
kp
2 (2l+l) J {sinZ {кг~угя + Лг) -
i о
- sin2 ^кг - у Indk =
hp
= 2^2- 2 (21 + ^ j sin (2кг ~1п + Л г) sin 4i -JT d (hr) ~ i о
~ 2 (2l + !) ('- !)'sin *li -"Г+Т1г1 • (5-^4)
i
Мы использовали здесь нормировочный множитель (2nR)~1/2 для волновых
функций (5.39) в сфере радиуса R и опустили члены, которые при больших
значениях г стремятся к нулю быстрее, чем выписанное под знаком суммы
выражение.
Мы получили осциллирующую плотность заряда, соответствующую сингулярности
в выражении (5.38). Амплитуда ее стремится к нулю только как 1/г3, так
что этот эффект не является пренебрежимо малым. Интересно, что по
соседству с примесью электроны не просто скучиваются: имеются области, в
которых избыточная плотность бр отрицательна, т. е. электроны оттуда
выталкиваются. Это обстоятельство имеет большое значение для понимания
явлений, связанных со взаимодействием ,
между примесями и со сдвигом Найта ''
в сплавах (см. § 2 гл. 10).
Суть дела здесь в том, что локали-зованный заряд обусловлен не одним
-
или двумя электронами, связанными около примеси. Он создается быстрыми
электронами ферми-газа, которые, притягиваясь к примеси, несколько
замедляют свое движение возле нее и
скапливаются в этой области. Наличие фиг- 94. Гало заряда во-резкой
границы электронных длин волн круг пРимеси-
приводит к возникновению эффектов
интерференции, в результате чего вокруг рассеивающего центра образуются
гало заряда (фиг. 94).
В случае когда в "нормальном" металле растворены атомы переходного
металла, следует принять во внимание наличие незаполненных d-оболочек.
Как мы видели в § 10 гл. 3, d-орбитали сво-
186
Гл. 5. Взаимодействие между электронами
бодного атома приводят к появлению резонансов [см. (3.81)]: фазовый сдвиг
d-волны быстро проходит через п/2 в интервале энергии шириной W. Согласно
правилу сумм Фриделя (5.43), отсюда следует, что при прохождении узкой
полосы энергии вблизи резонанса примесь приобретает заряд до 10 новых
электронов. Однако полный заряд примеси должен быть скомпенсирован так,
чтобы заряд электронов нейтрализовал заряд ее ядра. Иначе говоря, ион
должен содержать примерно столько же "d-электронов", •сколько и свободный
атом. Это означает, что уровень Ферми
в металле-растворителе должен лежать в резонансной области.
Электроны d-оболочки свободного атома всегда магнитно поляризованы: в
согласии с
правилом Хунда их спины выстраиваются так, чтобы получилось наибольшее
значение момента, совместимое с принципом Паули. В атоме марганца,
например, все 5й-электроны могут иметь одну и ту же ориентацию спина. Эта
тенденция может сохраниться и после растворения в другом металле -
несмотря даже на то, что стационарные атомные уровни уже нельзя
характеризовать определенной спиновой поляризацией.
Пусть, например, на примеси имеется избыток электронов со спинами
"вверх". Для другого электрона с тем же направлением спина, налетающего
