Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
электроны посредством: кулоновских сил. Назовем его 6Ф (г, t)', согласно
уравнению Пуассона, мы имеем
V2 (6Ф) = -4яебр. (5.8)
Можно считать, что 6Ф меняется в пространстве и во времени так же, как и
бр, т. е.
6Ф (Г, t) = Фе"Ч• Tgiatgat _j_ КоМПЛ. сопр. (5.9)
Комбинируя уравнения (5.7)-(5.9), получаем
(5Л0>
к
ИЛИ
ф /°^/°У + ч> W. (5.11)
I. q2 0 (к) - % (к + q) + Йсо - iha. J 4 1
к
Такова потенциальная энергия, связанная с перераспределением заряда,
обусловленным действием исходного потенциала ЬЧ1. Но сам этот новый
потенциал 6Ф также нужно рассматривать как возмущение, влияющее на
распределение электронов. Чтобы расчет был самосогласованным, начальное
возмущение б41 уже должно содержать 6Ф. Иными словами,
т (г, t) = 6Г (г, t) + 6Ф (r, *), (5.12)
§ 2. Экранирование статического поля
173
где ЬТ (г, t) есть истинный внешний потенциал, действующий на систему.
Возьмем ЬТ в виде
ЬТ = Те1* • тешеа1 + Компл. сопр. (5.13)
Тогда равенства (5.12) и (5.11) дают
Ау_Г|/ lilf! V /° (к) /° (k+q) -I оц
U'~V 32 Zl ^(k)-^(k + q)+Sw-jte J
к
ИЛИ
99
8 (q, ш) '
где
/ _ а ¦ 4яе2 ^ /° (к)-/о (k + q)
к
(для удобства мы изменили знак знаменателя в сумме).
Иными словами, эффективный потенциал 41, действующий на электроны, есть
не просто приложенный потенциал f', а эта
величина, деленная на диэлектрическую проницаемость е (q, со),
которая зависит от длины волны и от частоты приложенного возмущения. Этот
результат получен выше для единичной фурье-компоненты, но, поскольку на
различных стадиях [см., например,
(5.2) и (5.4)] мы линеаризовали уравнения, эффекты, происходящие от
различных фурье-компонент, можно просто просуммировать. Таким образом,
если представить bf' в виде интеграла Фурье
ЬТ (г, t)- j j Т (q, со) е1ч-Те{(0' dq da>, (5.17)
то эффективный потенциал, действующий на электроны, есть
Ш(т, t)= j j Т(?'с? e^e^dqda. (5.18)
Выражение (5.16) известно как формула Линдхарда. В следующем параграфе
этой главы будет показано, что она содержит в зародыше объяснение ряда
интересных физических явлений.
§ 2. Экранирование статического поля
Рассмотрим действие статического возмущения, положив со = 0. Исследуем
сначала вид функции е (q, 0) при значениях волнового вектора q вблизи q =
0. В этом случае в формуле (5.16) можно приближенно взять
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.19)
174
Гл. 5. Взаимодействие между электронами
и, поскольку функция /°(к) зависит только от энергии Ш (к),
/°(k)-/°(k + q)"-q.-g- Vki (к). (5,20)
Суммирование в (5.16) можно теперь заменить интегрированием (будем
помнить, что теперь сумма в принципе распространяется
на все состояния, заполненные и пустые). В результате получаем
/ л\ ^ 4пе2 f {q-Vk"(k)} / а/о'\ "
8(ч'°) + ?2 J {q-vk"(k)} ( д%)dk~
= 1+i?J= <5-21)
где
Я2 = 4пе2^Г (",). (5.22)
Здесь использован тот факт, что производная (- df!d%) зависит только от
энергии и, согласно формулам (4.13)-(4.18), представляет собой
практически точно б-функцию от % - %F.
Видно, что 8 -> оо при q ->¦ 0. В соответствии с формулой (5.15) это
означает, что 4L -+¦ 0 при q -> 0 и фиксированном Т. Иными
словами, внешнее поле с большими длинами волн почти полностью
экранируется в результате перераспределения электронов.
Тот же результат можно получить и с помощью более простых соображений в
приближении Томаса -Ферми. Пусть потенциал возмущения в некоторой точке г
есть б41. Тогда функция распределения электронов поднимется на эту
величину (фиг. 86) по сравнению со своим значением в той точке, где б41 =
0. Но это означает, что уровень Ферми ? изменится, если электроны не
станут уходить из этой области. Фактически именно это и должно произойти,
ибо величина ?, будучи химическим потенциалом, должна быть всюду
постоянной в объеме.
§ 3. Экранированные атомы примеси и нейтральные псевдоатомы 175
Если энергия б41 невелика, то можно считать, что слой такой толщины
срезается с верха распределения, т. е. локальная концентрация электронов
изменяется на величину
&п(т)=-ЛГ(%т)Ш(т). (5.23)
Но изменение концентрации соответствует изменению локальной плотности
заряда, которое в свою очередь вызывает изменение потенциала 6Ф (г).
Последняя величина должна удовлетворять уравнению Пуассона
у2(бф) = - 4ле26и (г) = 4яe2JT (gF) Ш (г) = К2Ж. (5.24)
Это есть в сущности эквивалент равенства (5.11)-надо лишь произвести
здесь преобразование Фурье. Вместо суммы по к уже стоит величина Ж(ЩР), и
мы снова придем к формуле (5.21).
Отметим, что для классического газа, например для носителей заряда в
полупроводнике, формулу (5.23) надо заменить, как можно доказать,
соотношением
8п(г)жп0е-№ж-пож-%1гт. (5.25)
Здесь п0 - средняя локальная концентрация носителей. Это
следует, например, из уравнения (4.32). Мы вновь^получаем формулу вида
(5.24), но теперь
lZ==^S^- (5.26)
Плотность состояний для свободного электронного газа можно записать в
виде
•^ <"*>-¦§ jfe. (5-27)
где TF есть, по определению, температура Ферми (т. е. %F/k). Таким
образом, квантовая формула (5.22) для параметра экранирования Я
