Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
исключением переходных металлов, где узкая d-зона (или зоны) способна
вмещать по 10 электронов на атом, так что плотность состояний в d-зоне
(или зонах) должна быть значительно выше, чем в обычной s-зоне. Тому
имеются подтверждения; существуют также свидетельства в пользу того, что
d-электроны дают вклад в энергию связи металла, как и следовало ожидать в
такой модели.
vk = xv^(k)>
§ 5. Статистика Ферми для электронов
До сих пор мы предполагали, что рассматриваемая система электронов
находится при нулевой температуре. В соответствии с принципом Паули мы
считали, что уровни заполнены последовательно, начиная с самого пижнего,
вплоть до уровня Ферми, которому отвечает энергия Щ?. Из статистической
механики известно, что электроны подчиняются статистике Ферми - Дирака и
вероятность заполнения уровня с энергией Щ определяется формулой
тгатгг- (4-8)
160
Гл. 4. Статические свойства твердых тел
Здесь ? - уровень Ферми, т. е. химический потенциал, или свободная
энергия в расчете на один электрон; в условиях термодинамического
равновесия он должен быть постоянен всюду в образце.
Пусть в интервале энергии d% имеется Ж(Щ) йЩ состояний. Тогда, если
п есть полная концентрация электронов (число электронов
в единице объема кристалла), то должно быть выполнено
условие
оо
п= j /°(g) JT{S)dS. (4.9)
о
Равенства (4.8) и (4.9) определяют уровень Ферми ?, а тем самым и все
распределение.
При абсолютном нуле ситуация тривиальна: нетрудно заметить, что функция
/°(g) равна единице, когда g < ?, и обращается в нуль при g > ?. Таким
образом,
п= ( Ж (g) d% = [ JT(%)d%. (4.10)
о о
Это есть просто математическая запись определения уровня Ферми:
? = gF при Т = 0. (4.11)
Чтобы определить уровень Ферми ? как функцию температуры Т, нужно в
принципе знать всю плотность состояний JT (%). Однако в металлах
распределение сильно вырождено, т. е. kT gF. В этом случае можно
воспользоваться следующим математическим приемом.
Пусть надо вычислить интеграл вида
ОО
/= j g($)f°№)dS, (4.12)
о
где g (g) - некоторая функция энергии. Проинтегрируем по
частям:
ОО
r = [G($)f°(1g)]%- \ G(g)|g-dg; (4.13)
о
здесь
*
0(Ш)= j g(%)d%. (4.14)
о
§ 5. Статистика Ферми для электронов
161
Первый член в (4.13) обращается в нуль при подстановке обоих пределов [мы
можем считать, что g (0) = 0, приняв за начало отсчета энергии достаточно
низкое ее значение].
Остающийся интеграл легче вычислить, так как функция (d/°/dg) имеет
симметричный пик при энергии % = ? - она ведет
Фиг 81. Функция Ферми - Дирака и ее производная при Т = 0 и при ко
нечной температуре.
себя подобно 6-функции с пиком шириной кТ (фиг. 81). Разложим функцию G
(Ш) в ряд Тейлора около этой точки:
G(g)=G(E) + (*-E)G'(E) + 4-(S -?)2G"(0 + . . . (4.15) и подставим это
разложение в выражение (4.13) Получим
ОО ОО
/ = G(E) j (_4?)d* + G'(9 j (g_Q(-U)dg+... . (4.16) о о
Замечая, что
ОО
{ (-= 0)-/°(оо) = 1, (4.17)
о
видим, что в первом приближении искомый интеграл равен
С
/"G(Q= (4.18)
о
Это то значение, которое мы получили бы при Т = 0.
162
Гл. 4. Статические свойства твердых тел
Общий член ряда в правой части равенства (4.16) пропорционален интегралу
(-ж)
о
(kT)n f exp {(%-y/kT} , {%-l\
n 1 ) \ kT ) [exp{("-y/AT} + l]2u \ kT )
o
(кТ)п f° _zn dz _ 12cn (kT)n для n четных,
(ez + l) (1 +e z) | Q дДЯ и нечетных
J (4.19)
Здесь коэффициенты сп легко вычисляются как суммы сходящих-
Фиг. 82. При высоких температурах функция Ферми - Дирака переходит в
классическую функцию распределения Больцмана.
ся рядов. Практически редко приходится учитывать члены дальше второго,
для которого
2 c2 = i-Tt2.
(4.20)
Таким образом, мы имеем
оо ?
5*(g)/°(g)d8" j*(S)dg + T-(fcr)aP^-]• (4-21)
о о Е
Например, чтобы вычислить, как изменяется уровень Ферми ? с температурой
(фиг. 82), воспользуемся формулами (4.9) и (4.10). Получим следующее
уравнение:
00
j jT{fS)dfS = j ^(g)/°(§)dg =
о о
t
= \jr{%)d% + ?- {кТ)г + • • • ¦ (4.22)
Л ?
§ 6, Статистика носителей заряда в полупроводнике
163
Как легко проверить дифференцированием по ?, приближенное решение (4.22)
имеет вид
? " g,~?(M-)* [^^(g)]^. (4.23)
Отметим, что ? < Л F (кроме случая Т = 0), но при kT <С gF поправка
невелика. Именно так обстоит дело в металлах при обычных температурах.
Уровень Ферми ? должен понижаться с повышением температуры, так как при
температурах, превышающих температуру вырождения электронного газа, т. е.
при kT > функция распределения Ферми - Дирака должна переходить в
классическую функцию распределения
/° (g) ~ е-^ьт. (4.24)
Как видно из формулы (4.8), это возможно только для энергий, превышающих
?. Чтобы последнее условие выполнялось для всех значений энергии в зоне,
уровень Ферми ? должен лежать ниже энергии g = 0.
§ 6. Статистика носителей заряда в полупроводнике
Для полупроводника характерно наличие большой щели в плотности состояний.
Фактически область интегрирования по энергии разделена на две: снизу
вверх вплоть до значения g" - потолка валентной зоны и затем снова вверх
