Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
своем полупроводники не являются совершенно чистыми. Действительно, мы
почти всегда используем легированные полупроводники, т. е.
полупроводники, к которым добавлены примеси. Типичный случай - это
донорная примесь, например атом As, введенный в качестве примеси
замещения в кристалл Ge (фиг. 84). На основании соображений, изложенных в
§ 2 настоящей главы, очевидно, что это можно сделать, не нарушая
структуры связей в решетке, если 5-й электрон As станет свободным и
попадет в зону проводимости кристалла. Таким образом, получается образец
п-типа\ мы добавляем некоторое количество электронов, но дырки в
валентной зоне не появляются.
§ 6. Статистика носителей заряда в полупроводнике
167
Если имеется Nd таких донорных атомов в единице объема, то должно
выполняться условие
пе -nh = Nd, (4.40)
с помощью которого можно вычислить пе, nh, t,e и КаК функции температуры
Т. В частности, если материал сильно легирован путем введения большого
числа доноров, то с подавляющим перевесом в нем будут присутствовать
электроны. Уровень Ферми в этом случае должен находиться в области
энергий, в которой
Фиг. 84. а - донор в Ge; б - акцептор в Ge.
уровни заполнены этими основными носителями заряда, т. е. вблизи дна зоны
проводимости. При достаточно сильном легировании плотность этого газа
носителей можно довести до величины порядка характерной для металлов, и в
этом случае распределение станет вырожденным даже при обычной
температуре.
Существуют примеси, которые ведут себя обратным образом. Если ввести в Ge
(также в качестве примеси замещения) атом In, обладающий только 3
электронами на атом, то связи окажутся насыщенными не полностью и в
валентной зоне останется дырка. Введение такой примеси приводит к
образованию образца р-типа, и если Na есть концентрация акцепторной
примеси, то имеет место равенство
пе -п,, = -Na. (4.41)
В общем случае в кристалле могут присутствовать как доноры, так и
акцепторы, так что в компенсированном образце
пе -п>, = Na -Na. (4.42)
Однако эти примесные атомы приводят и к появлению локальных уровней в
запрещенной зоне (см. § 4 гл. 6), и соответственно^ слу-
168
Гл. 4. Статические свойства твердых тел
чае низких температур, когда на этих уровнях может находиться
значительная часть избыточных носителей, статистическая теория становится
довольно сложной.
§ 7. Электронная теплоемкость
Электроны в металлах должны вносить некоторый вклад в полную
теплоемкость. Чтобы найти его, вычислим среднюю энергию электронов.
Воспользуемся формулой (4.21), предполагая, что система электронов сильно
вырождена:]
f= j g/o(g) jr(g)dS =
t 2
+ . (4.43)
Продифференцируем этот результат по температуре, учитывая [ср. (4.22)],
что уровень Ферми ? также зависит от температуры:
с. 1=Jf= 0 §¦+тVT[ JT($)+С-О(Я)-
- ? VTjrp,) + иг К! [ & + '¦? =
= nk^kT . (4.44)
Здесь использовано равенство (4.22) и слагаемые порядка Та и выше
опущены.
Это очень важный результат. Сравним выражение (4.44) с темплоемкостью
классического газа частиц, скажем 3/гпк. В квантовом случае результат
намного меньше. Для свободных электронов плотность состояний (4.3) при
энергии, равной энергии Ферми, составляет ь1гп1ШЕ, так что
Cdass 3 %р
Для обычных металлов при обычных температурах это отношение составляет
примерно 1/100. Отсюда ясно, почему теплоемкость металла довольно точно
описывается решеточной составляющей (см. § 4 гл. 2) и почему закон
Дюлонга и Пти справедлив при высоких температурах.
Отметим также, что теплоемкость Се\ линейна по Т. При очень низких
температурах этот линейный член, который обычно записывают в виде
Сл^-уТ, (4 46)
§ 7. Электронная теплоемкость
169
можно отделить от решеточного члена, который стремится к нулю быстрее -
как Т3. Измерение у дает непосредственную информацию о величине JP (§F) -
плотности состояний на уровне Ферми. Например, для переходных металлов
наблюдаются высокие значения у в соответствии со сказанным в § 4
настоящей главы.
Происхождение линейного хода теплоемкости при низких температурах можно
понять следующим образом. Рассмотрим распределение Ферми (фиг. 85).
Влияние температуры сводится к возбуждению небольшого числа электронов на
более высокие
Фиг, 85. Термическое возбуждение электронов в металле.
уровни. Но этот эффект может быть заметным только в области энергий
порядка кТ вблизи gF. Мы можем сказать, что каждый электрон из общего
числа, примерно равного kTJT(MF), приобретает энергию порядка кТ. Таким
образом, полный выигрыш энергии составляет приблизительно
fif - k2T2JT (g,). (4.47)
Это соответствует теплоемкости
Се 1 = Зг ~ Zk*Tjr{$F)- (4.48)
С точностью до численного множителя эта оценка совпадает с прежним
результатом (4.44).
Наше рассуждение в сущности сводится к тому, что электроны, расположенные
в глубине распределения Ферми, почти "не чувствуют" влияния температуры.
Их состояние определяется принципом Паули, который требует, чтобы
электроны заполняли все уровни, но не позволяет им вторгаться друг к
