Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентна классической формуле Дебая - Хюккеля
(5.26) в предположении, что электроны имеют очень высокую эффективную
температуру, примерно равную TF. Тот же результат (5.26) можно получить и
непосредственно, если при выводе выражения (5.21) взять в качестве /°
функцию распределения Больцмана.
§ 3. Экранированные атомы примеси и нейтральные псевдоатомы
Типичный случай возмущения в твердом теле представляет собой
электростатическое поле вокруг заряженной примеси. Заменим, например,
один ион в металлической решетке меди ионом цинка (см. фиг. 87). Тогда в
точке, где раньше был только единичный заряд, появится заряд +2 | е |.
Это можно рассматривать,
176
Гл. 5. Взаимодейстпвие между электронами
как если бы на нейтральном фоне был помещен заряд + | е |. Задача состоит
в исследовании его влияния на газ свободных электронов.
Провести соответствующий расчет проще всего, предположив, что потенциалы
б41 и 6Ф в уравнении (5.24) одинаковы везде, кроме самого центра примеси.
Уравнению
выбранное таким образом, чтобы оно вело себя подобно потенциалу точечного
заряда вблизи точки г = 0. Этот результат типи-
Фиг. 87. Двухвалентная примесь в одновалентном металле (а) заменяется
точечным зарядом в непрерывной однородной среде (б).
чен - мы получили экранированный кулоновский потенциал, экспоненциально
спадающий при удалении от центра с радиусом экранирования 1 Д. В
соответствии с нашим общим принципом экранирования электроны не
"замечают" примеси, находясь на расстоянии нескольких таких радиусов от
нее. В металле этот радиус порядка межатомного расстояния, в
полупроводнике он намного больше.
Получим теперь этот результат с помощью найденного ранее выражения для
диэлектрической проницаемости. "Внешнее" поле ЬТ (г) есть чисто
кулоновский потенциал
Хорошо известен фурье-образ этой функции, вычисленный в соответствии с
(5.17) в трехмерном ящике единичного объема:
V2 (Ш) = X2 (б41)
(5.28)
удовлетворяет решение вида
б 41 = -е-ь,
Г '
(5.29)
(г) = -
(5.30)
(5.31)
§ 3. Экранированные атомы, примеси и нейтральные псевдоатомы 177
Отметим, что функция (5.31) имеет сингулярность при q = 0, что
соответствует бесконечной "области действия" кулоновского потенциала.
Формулы (5.15) и (5.21) дают для экранированного потенциала выражение
(5-32)
Это есть не что иное, как фурье-образ (5.18) уже известного нам
потенциала (5.29). Особенность в е (q, 0) при q -*- 0 сокращается с
особенностью в У(ц), что приводит к исчезновению дальнодей-ствующей части
голого кулоновского потенциала (5.30).
Этот подход можно использовать также для описания влияния межэлектронного
взаимодействия на распределение потенциала в чистом металле. В принципе
матричные элементы самосогласованного экранированного потенциала us (г),
которые потребовались бы нам при расчете зонной структуры в приближении
почти свободных электронов (см. § 3 настоящей главы), можно вычислить,
разделив соответствующие фурье-компоненты потенциала голого иона, ТГъ
(г), на диэлектрическую проницаемость [как это и было сделано в формуле
(5.18)].
Для реальных глубоких потенциальных ям ионных остовов эта процедура была
бы неправомочной. Попробуем, однако, воспользоваться методом
псевдопотенциала, сопоставив каждому
голому иону модельный псевдопотенциал Wb (г), определенный
согласно § 9 гл. 3. При условии, что потенциалы ионных остовов не
перекрываются, полный "потенциал" до введения экранирования можно
записать в виде суперпозиции ионных псевдопотенциалов:
n(r) = 2^(r-R*). (5.33)
I
Согласно формулам (2.86) и (5.18), фурье-компоненты соответствующего
самосогласованного потенциала имеют вид
%(K)4seiK,R,|ij- (5-34)
Здесь через wb (К) обозначена уже фурье-компонента (или матричный
элемент) псевдопотенциала w&. В случае идеальной решетки, когда
структурный фактор (2.92) просто отбирает векторы обратной решетки, это
выражение дает нам матричные элементы экранированного псевдопотенциала,
определяющие коэффициенты Г в формуле (3.64) в модели почти свободных
электронов.
При подходящем выборе структурного фактора выражение (5.34) можно
использовать также для оценки матричного элемента, описывающего рассеяние
электронов проводимости на искаже-
178
Гл. 5. Взаимодействие между электронами
ниях идеальной кристаллической решетки, например на фононах (см. § 12 гл.
6), или даже рассеяние электронов в жидких металлах. В подобных случаях
поучительно переписать выражение (5.34) в координатном пространстве,
выполнив обратное преобразование Фурье. При этом получается формула типа
(5.33). Действительно, поскольку экранирование рассматривается в линейном
приближении, мы можем сначала учесть этот эффект, а потом уже сложить
экранированные псевдопотенциалы отдельных центров ws. Таким путем
получаем
Дело обстоит теперь так, как если бы каждый атомный центр, расположенный
в точке R;, нес на себе экранированный ионный псевдопотенциал ws (г),
фурье-образ которого есть юъ (К)/е (К, 0) (см. фиг. 88).
