Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 88. а - потенциал голого иона; б - псевдопотенциал голого иона; в -
экранированный псевдопотенцпал.
Как мы видели, основной эффект экранирования состоит в том, что
дальнодействующий кулоновский потенциал преобразуется в экранированный
кулоновский, описываемый функцией вида (5.29). С помощью формул (5.7) или
(5.23) нетрудно показать, что каждый ион окружен теперь облаком
электронного заряда, плотность которого спадает по экспоненте с
характерной длиной X-1. Рассматриваемое с достаточно большого расстояния,
это облако должно содержать как раз такой отрицательный заряд, который
нейтрализует заряд атомного остова -f-Z [ е |. Иначе говоря, мы получили
нейтральный псевдоатом. Во многих металлических системах его можно
рассматривать как единое образование. Например, тепловое смещение иона из
своего узла решетки (фиг. 89) приводит к возникновению электрического
поля, поляризующего электронный газ и тем самым вызывающего дальнейшее
перемещение зарядов; в линейном приближении все эти эффекты учитываются
самосогласованным образом, если просто рассматривать сдвиг псевдоатома
как целого.
Заметим, однако, что экранирующие облака соседних ионов обязательно
должны перекрываться, создавая в межузельном пространстве нечто подобное
газу свободных электронов той плот-
°Иа (г) = 2 (г -Rг)-
(5.35)
§ 4. Сингулярность экранирования. Эффект Кона
179
ности, которая предполагалась изначально. В истинно "атомной" системе
(типа твердого аргона) электроны локализованы на атомных орбиталях,
которые при принудительном их сближении испытывают сильное взаимное
отталкивание. Экранирующее обла-
ко в металле есть не более чем локальное повышение средней плотности
заряда, порождаемое бесчисленными делокализованными состояниями газа
электронов проводимости.
Метод, основанный на концепции псевдоатома, представляет собой лишь
приближенную процедуру устранения расходимостей, возникающих при
рассмотрении голого ионного потенциала глубоко внутри ионного остова и на
больших расстояниях от него. Тем не менее применительно к простым
металлам этот метод интуитивно представляется вполне надежным и дает "в
нулевом приближении" отличные оценки для многих наблюдаемых величин
Формула (5.21) для диэлектрической проницаемости справедлива только
приближенно. Чтобы исследовать характер экранирования на небольших
расстояниях, надо вычислить сумму
(5.16) для больших значений q. Результат зависит от конкретного вида
изоэнергетических поверхностей % (к). В нашем случае для модели свободных
электронов при абсолютном нуле температуры расчет несложен и выполняется
непосредственным интегрированием по k-пространству. Ответ гласит:
Фиг. 89. Нейтральные псевдоатомы.
(см. § 12 и 13 гл. 6).
§ 4. Сингулярность экранирования. Эффект Кона
1 Щ - Q2
9~"г яг-_Л
8kFq
где kF - радиус сферы Ферми.
180 Гл. 5. Взаимодействие между электронами
Если представить это выражение формально в виде (5.21), то величина Я
окажется функцией q (фиг. 90), которая при q -*- 0 стремится к значению,
определяемому формулой (5.22). Эффек-
Фиг. 90. Зависимость параметра экранирования от волнового числа.
тивная длина экранирования, 1/Я, растет с увеличением q: коротковолновые
компоненты потенциала экранируются все с большим и большим трудом.
Интересно поведение формулы (5.36) при q = 2kF, когда логарифмический
член имеет сингулярность. Это свойство отвечает
а 5 в
Фиг. 91. Области сферы Ферми, дающие вклад в диэлектрическую
проницаемость, а) малые q\ б) q < 2hp; в) q = 2hp,
некоторому реальному эффекту. Формально происхождение сингулярности
объясняется наличием сомножителя /° (к) - /° (к -f q) под знаком суммы в
(5.16). Как следствие мы должны рассматривать только те значения к, для
которых состояние с волновой функцией | к) заполнено, а состояние | к +
q) пусто, или наоборот. Для небольших значений q такие состояния
принадлежат двум областям на поверхности сферы Ферми (фиг. 91, а). С
увеличением q эти области постепенно расширяются, так что сумма
увеличивается. Наконец достигается такое значение q, при котором вся
сфера дает вклад в сумму. Это имеет место, когда
q = Че = 2 kF
(5.37)
§ 4. Сингулярностъ экранирования. Эффект Кона
181
При дальнейшем увеличении q в сумме по к никаких новых членов больше не
появляется, и поэтому функциональная зависимость суммы от q изменяется,
несмотря на то что каждый член суммы остается непрерывной функцией q.
Однако вклад от последнего небольшого участка сферы, захватываемого
непосредственно перед тем, как q достигает значения 2kF, невелик, и в
результате особенность оказывается не очень сильной. Сама диэлектрическая
проницаемость остается непрерывной, но производная dz/dq логарифмически
уходит в бесконечность при q = qc. Этот наглядный вывод можно обобщить на
случай несферической
а 6
Фиг. 92. а - аномалия Кона имеет место, когда вектор q соединяет те точки
поверхности Ферми, в которых касательные параллельны друг другу; б -
возможно существование нескольких значений qc для заданного направления
