Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вектора q.
поверхности Ферми. Любая сумма, построенная по общему принципу (5.16),
будет обладать подобной сингулярностью при тех значениях q, при которых
суммирование будет распространяться на значения к, лежащие на всей
поверхности и только на ней. При фиксированном направлении q можно
ожидать, что величина qc будет определяться наибольшим в этом направлении
расстоянием между точками поверхности. Измерив qc как функцию
направления, мы сможем определить форму поверхности Ферми, хотя (фиг. 92,
б) для данного направления может оказаться несколько значений qc,
соответствующих как максимумам, так и минимумам "диаметра".
Таково происхождение эффекта Кона в спектре колебаний решетки. Фонону с
волновым вектором q соответствует благодаря движению ионов потенциал с
фурье-компонентами типа (5.17). Электроны перераспределяются, экранируя
это поле. В результате ионы взаимодействуют друг с другом посредством
этого
182
Гл. 5. Взаимодействие между электронами
экранированного поля, обратно пропорционального е (q). Таким образом,
изменяются силы взаимодействия между ионами, и частота колебаний этой
моды зависит от е (q) (см. § 12 гл. 6). Наличие сингулярности у е
отражается, таким образом, на фононной частоте.
Подобный эффект, по-видимому, должен наблюдаться и для любой другой
системы волн, распространяющихся в твердом теле, например для спиновых
волн (§ 11 гл. 10), если они взаимодействуют с электронами проводимости.
Это позволяет в принципе развить общий метод исследования поверхности
Ферми, хотя обнаружение рассматриваемого эффекта может оказаться
практически неосуществимым.
Наличие сингулярности у функции е (q, 0) приводит и к другому интересному
следствию. Подставим выражение (5.36) в формулу для экранированного
потенциала точечного заряда. Согласно формулам (5.18) и (5.31), мы
получим для потенциала на расстоянии г следующее выражение:
Без всякого расчета можно проверить, что наличие сингулярности при q -
2kp приведет к появлению особого вклада в потенциал <U(r). Вместо плавной
экспоненциальной функции мы получим потенциал, содержащий добавку,
осциллирующую с волновым числом 2kF.
Вместо того чтобы явно выводить этот результат из формулы
(5.38), мы воспользуемся несколько иным подходом, предложенным Фриделем.
Рассмотрим сферически симметричный потенциал U (г). Известно, что
уравнение Шредингера с таким потенциалом имеет решение, которое на
больших расстояниях ведет себя следующим образом:
Здесь Pi (cos 0) есть обычный полином Лежандра порядка I. В данный момент
нас интересует не задача о рассеянии, а стационарное состояние
"свободного" электрона, находящегося в поле только потенциала 41 (г),
источник которого расположен в начале координат.
§ 5. Правило сумм Фриделя
2кр -)- q 2 kp - q
i ~ у sill (kr-у In + т);) Pi (cos 0). (5.39)
§ 5. Правило сумм Фриделя
183
Существование решений типа (5.39), сдвинутых по фазе на величину т]; по
сравнению со случаем 41 (г) = О, составляет отправной пункт метода
парциальных волн, используемого для решения задач
о рассеянии на потенциалах такого вида (ср. § 9 гл. 3). Как известно,
функции типа (5.39) можно добавить к плоской волне ехр (гк-г),
изображающей начальное состояние, и вычислить рассеянную часть волны.
Дифференциальное поперечное сечение рассеяния есть, по определению,
ОО
a(Q) = W 2 {2l + i)exy]ismr]lPl(coSQ) \ (5.40)
г=о
Но вернемся к стационарным состояниям (5.39). Используем эти волновые
функции в качестве базисных и будем заполнять соответствующие уровни в
порядке увеличения энергии, точно так же как мы поступали ранее с
плоскими волнами.' При подсчете числа состояний удобно воспользоваться
граничным условием иного типа, а именно простым требованием, чтобы
функция = 0 при г = R, как будто мы рассматриваем большую сферу радиуса
R, в центре которой находится атом. Следовательно, "разрешенные" значения
к должны удовлетворять условию
j
kR - у Ы -(- т)г = Целое число X я. (5.41)
Если бы наша сфера была пустой, так что все сдвиги фаз r\i равнялись бы
нулю, то "разрешенные" значения к образовывали бы набор чисел
кп- (/г + '2'^) ~п' (5.42)
При каждом значении п можно взять, конечно, много различных значений I, и
каждому I отвечает (21 + 1) различных волновых функций. Однако можно
показать - это следует по существу из общей теоремы о распределении
собственных значений, - что полное число состояний с энергией, меньшей
ШF, т. е. с волновым вектором, меньшим чем кр, в этой схеме таково же,
как и в более привычном случае с кубическим ящиком (см. § 6 гл. 1). Но
когда в центре сферы расположен атом, сдвиги фаз тотличны от нуля, и
потому "разрешенные" значения к не равны кп, а сдвинуты на величины x[JR.
Заметим теперь, что сдвиг фазы r\i зависит от к. Из фиг. 93 видно, что в
новом наборе будет содержаться
41 (k) - 4i(V)
новых разрешенных значений между двумя точками кп к' на оси к.
184
Гл. 5. Взаимодействие между электронами
Сделаем теперь естественное предположение о том, что т]} обращается в
