Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
от gc - дна зоны проводимости. Таким образом, условие, эквивалентное
равенствам (4.9) и (4.10), выражается теперь в виде
%J) оо
J jTv (g) d% в j /° (g) JTV (ш) dU+\ f° (g) jrc (g) d%. (4.25)
о о %c
Здесь функции и jf"v(g) представляют собой плотности
состояний в зоне проводимости и валентной зоне соответственно.
Последнее равенство можно переписать еще так:
оо
\ {l-/°(g)}^0(g)dg= j /° (g) JTс (g) dg. (4.26)
0 %c
Это не означает ничего, кроме того, что число электронов, возбужденных в
зону проводимости, равно числу дырок, оставшихся в валентной зоне,
nh = пе (4.27)
164
Гл. 4. Статические свойства твердых тел
Интересно несколько иначе записать статистические распределения в
равенстве (4.26). Заметим, что
1-/° (?-?) = ! ехр{("-?)АГ} + 1 =
= ехр{ - {% - Q/kT} + i i^h + Ch), (4.28)
где
8л+ ?h= -(" - ?). (4-29)
Другими словами, вероятность найти дырку на энергетическом уровне Ш,
находящемся на расстоянии | %- ? | ниже уровня Ферми для электронов,
такова же, как вероятность найти электрон с энергией, которая на | Щ - Z,
| выше уровня Ферми. Дырки, подобно электронам, подчиняются статистике
Ферми - Дирака, но их энергия как бы отсчитывается в обратном
направлении. Удобно отсчитывать все электронные энергии от уровня %с и
использовать переменную Ше, равную % - §с. Энергии же дырок будем
отсчитывать от потолка валентной зоны: %h = - (Щ - §"). Уровень Ферми для
электронов расположен при некоторой энергии %е = -?е, уровень Ферми для
дырок соответствует энергии = -tk- Тогда равенство (4.26) .принимает вид
оо оо
{ /° ("л + ад ЛГ, ($h) d%h = J /° (Ше + ад Же (i%.) die. (4.30)
Величины и t,h, разумеется, не независимы: они должны соответствовать
одному и тому же уровню Ферми всей системы ?. Поскольку они отсчитываются
от значений, отстоящих друг от друга на величину &gap, мы имеем *)
gap* (4-31)
Как мы сейчас покажем, уровень Ферми С обычно лежит в области
энергетической щели, так что обе величины ?е и положительны и чаще всего
превышают кТ (фиг. 83). В этом случае функции Ферми для
электронов и дырок практически не
отличаются от классических функций распределения в областях энергии, в
которых переменные Ще и положительны, например
/° (& + Се) " е-(*"+Св)/м\ (4.32)
J) По-видимому, здесь удобнее определить величины и так, чтобы обе они в
типичных условиях были положительными.
§. 6. Статистика носителей заряда в полупроводнике
165
Это обстоятельство несколько упрощает вычисление интегралов в (4.30).
Согласно теореме Ван Хова (§ 5 гл. 2), вблизи дна зоны проводимости
плотность состояний должна иметь вид
(4.33)
Это есть по существу то же выражение, что и для газа свободных
электронов, но с эффективной массой те. Однако в общем случае последний
параметр определяется как
me=(mimzm3)1/3; (4-34)
величины 1Щ, т2 и т3 непосредственно связаны с коэффициентами разложения
энергии §(к) вблизи ее минимума в к-пространстве,
Г? _кч\ пщ ,пщ
2 1 2 т2 2 т3
(4.35)
причем система координат связана с главными локальными осями. Это
утверждение доказывается точно так же, как формула (2.72).
&аг
Фиг. 83. а - абсолютная энергетическая схема полупроводника; б -
энергетические схемы для "электронов" и "дырок".
Подставляя выражения (4.32) и (4.33) в уравнение (4.30), мы получаем
"е= J e-{%e+M/hT_L у*ШУ2йШе =
о
=2 (w)'"'-u,kT¦ (4'36)
В простых моделях энергетических зон, в которых, в частности,
пренебрегается спин-орбитальным расщеплением (см. § 11
166
Гл. 4. Статические свойства твердых тел
гл. 3), плотность состояний вблизи потолка валентной зоны описывается
формулой того же вида, что и (4.33), и характеризуется аналогичным
параметром тд размерности массы. Поэтому мы получим аналогичную формулу
для полного числа "дырок, возбужденных при температуре Т":
Приравнивая величины пе и nh и используя равенство (4.31), можно найти
каждую из них по отдельности. Перемножая, например, левые и правые части
уравнений (4.36) и (4.37)соответственно, получаем величину
nenh = 4 (-^2 )3 (memh)3/l е~%g^,hT, (4 38)
не зависящую от положения уровня Ферми, так что этот результат справедлив
в довольно общих предположениях, лишь бы уровень Ферми оставался внутри
энергетической щели. Извлекая квадратный корень из этой величины, находим
ne = nh = 2 (Лз)3/2 (memh)Slt е~ SgaP/2hr. (4 39)
Видно, что температурная зависимость концентрации носителей заряда
действительно описывается больцмановским множителем, как если бы
требовалась энергия §gaр/2 для активации электрона в зону проводимости.
С помощью формул (4.36), (4.37) и (4.39) легко найти величины ?е и по
отдельности. Так как формулы симметричны, очевидно, что уровень Ферми ?
будет лежать в середине энергетической щели, если тпе - mh. Коль скоро
%gap > kT, эти формулы справедливы для собственного полупроводника, в
котором все носители заряда созданы термическим возбуждением.
В нашем изложении мы главным образом ограничиваемся рассмотрением чистых,
правильных кристаллов, однако необходимо упомянуть, что в большинстве
