Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть динамическая система обладает свойством локальной неустойчивости с
инкрементом v(p, q), где аргументы обозначают координату точки в фазовом
пространстве. Введем два масштаба в фазовом пространстве: 1) область ДГ,
характеризующую элемент фазового объема, по которому производится
огрубление различных характеристик системы; 2) область Г, определяющую
характерный фазовый объем всей системы, или же область, на которой
происходят медленные ("гидродинамические") изменения характеристик
системы. Тогда энтропия Колмогорова k может быть определена следующим
образом:
Величина h-h(p, q), где (р, q) - координаты, например, центра тяжести
элемента объема ДГ. Именно относительно координат (.р, q) и
предполагается медленная "гидродинамическая" зависимость энтропии.
Приведем элементарные примеры. Отображение
(см. § 2.1) при целых К имеет /г = v, в чем легко убедиться
непосредственно, так как v не зависит от х. Таким же свойством обладает
система (3.2) при любых К. Более сложным является синус-преобразование (§
4.3), в котором имеются островки устойчивости. Эти островки создают
определенные "поверхностные" эффекты, которые нарушают однородность
локальной неустойчивости. Однако при К > 1 также можно пренебречь
влиянием островков устойчивости. Это означает, что если выбрать
ДГ > const IK,
то величина h, определенная формулой (3.1), не будет зависеть от
положения элемента огрубления ДГ.
Можно теперь сделать следующие утверждения. Различные /Г-системы, имеющие
одинаковые значения h, имеют одинаковое глобальное описание, и в этом
смысле все такие системы пзо-
(3.1)
дг
Xn+i [KXnl
(3.2)
218
морфны. Такое их свойство будем называть также универсальностью *).
Динамические свойства Х-систем являются однородными в некоторой части
фазового пространства, если в этой части v = = const. Однородность может
существовать и в макромасштабе, т. е. в гидродинамических движениях, если
после огрубления
(3.1) величина h = const.
Однако в действительности реальные системы обладают существенно более
сложными движениями. Опишем их в краткой форме на примере
ангармонического осциллятора, в котором сто-хастичность возникает под
действием внешнего периодического возмущения (гл. 4). Гамильтонов
характер системы предполагает четное число переменных (в примере с
осциллятором их две). По одной из них (фазе О) происходит быстрый процесс
перемешивания с характерным временем хс. По второй (действию 1) идет
медленный процесс диффузии с характерным временем тв. Таким образом,
возникают, вообще говоря, два масштаба универсальности глобальной
динамики: универсальность динамических систем по процессам перемешивания,
если их /f-энтропии одинаковы (на временах ~тс), и универсальность по
процессам диффузионной релаксации, если эти процессы имеют одинаковый
коэффициент диффузии (на временах ~тв). Естественно, что, например, две
динамические системы могут быть изоморфными относительно перемешивания и
неизоморфными относительно диффузии.
В дальнейшем мы будем интересоваться только той частью глобальной
динамики, которая связана с перемешиванием, и термин "универсальность"
применять только относительно процессов на временах <xD. Очевидно, что
это предполагает существование неравенства тс < xD.
Системы биллиардного типа, в которых движение частицы является
перемешивающимся, могут служить удобным примером для дальнейшего анализа.
Свойство универсальности позволяет любой динамической системе сопоставить
изоморфный ей биллиард и, с точностью до малых (краевых) эффектов,
изучать общие закономерности динамики /f-систем на примере динамики
частицы в соответствующем биллиарде. Этим обстоятельством мы будем широко
пользоваться далее. Будем предполагать также ^-системы в достаточной
степени однородными **).
Рассмотрим теперь более тонкий вопрос о периодических траекториях АТ-
систсм. В интегрируемых динамических системах, имеющих N интегралов
движения при N степенях свободы, периодические траектории лежат на
резонансных торах, определяемых
*) Строго говоря, универсальностью глобальной динамики обладает не все
множество состояпий ЛГ-систем, а только та их часть в фазовом
пространстве. в которой движепие является стохастическим.
**) Это свойство также относится только к масштабу времени, па котором
происходит перемешивание.
219
условиями
mi(Di(/i, In) +... + mudsill, In) - 0, (3.3)
где cda - частоты urn* - положительные и отрицательные целые числа. Малые
возмущения условия (3.3) приводят к тому, что траектория на возмущенном
торе оказывается незамкнутой. Расстояние по фазам между периодической и
возмущенной траекториями будет нарастать линейно со временем, т. е. очень
медленно.
Иначе обстоит дело в ^-системах. Из-за локальной неустойчивости слабое
возмущение начальных условий приводит к экспоненциальному росту
расстояний между траекториями. Поэтому все периодические траектории
оказываются сильно неустойчивыми и, более того, число периодических
