Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
маловероятным). Рассмотрим, как это происходит.
Из анализа классических tf-систем мы уже видели, что в случае
стохастичности имеется по крайней мере одна переменная (1), по которой
происходит быстрое перемешивание. Наиболее удобными для иллюстрации
являются отображения в задачах с биллиардами (см. уравнения (3.3.3) и
(Д1.4)). Параметр растяжения К является функцией энергии (см., например,
уравнения (3.3.5) и (3.3.2) в задаче о скользящих электронах). Поэтому
возмущение Е на величину АЕ приводит, вообще говоря, к возмущению
начального условия на величину
d\~^AE. (5.6)
15*
227
Теперь заметим, что действие на траектории с энергией Е + АЕ никогда не
сможет отличаться на конечную величину ^2л% от действия на траектории с
энергией Е, если только эти траектории не станут статистически
независимы. Действительно, на временах, меньших времени развития
стохастической неустойчивости, изменение действия пз-аа возмущения малб,
и неравенству (5.5) нельзя удовлетворить при АЕ -*¦ 0. Наоборот, действия
статистически независимых траекторий могут отличаться с не равной нулю
вероятностью на произвольную величину.
В § 2.1 мы уже определяли время (см. формулу (2.1.28)), в течение
которого локальная неустойчивость приводит к статистической независимости
траекторий с первоначально очень близкими начальными условиями.
Аналогично и в данном случае значение величины на гг-м шаге отображения
можно представить в виде
б|п ~ K6%n-i ~ ... ~ К"б|0 = ехр (лй)6?,), (5.7)
Л = 1пЯ,
где h равно по порядку величины энтропии Колмогорова, а б|0 определяется
формулой (5.6). Обозначим через N" число шагов отображения (т. е.
безразмерное время), через которое достигается 8|jve ~ 1. Из (5.7)
следует
N° = ЕГкln |6|J = Т ln |6|j* (5'8)
Через время N0 две траектории, начальные условия которых от-личалйсь на
малую величину 6|0) разойдутся настолько, что станут статистически
независимы.
Соотношения (5.7) являются универсальным свойством ^-систем, если только
правильно выбрать переменную по которой происходит перемешивание.
Аналогичной универсальностью обладает и формула (5.8). Подставляя (5.7) в
(5.8), находим
N°~lnK {1п | Д? | + 1п | dK/dE | j'
или, в пределе АЕ 0,
N° = ПГк 1п|"Д?] = Т ln fl?]* (5*9)
Формула (5.9) определяет характерное число шагов отображения, через
которое малое возмущение начальных условий, связанное с изменением
энергии частицы на величину АЕ, приводит к статистической независимости
этих траекторий вследствие процесса перемешивания. С другой стороны, для
типичного цикла с энергией Е существует типичное время цикла т и,
следовательно, типичное число шагов отображения N = ]7(?)._Согласно (5.9)
величина N0 растет при АЕ 0, в то время как N(E) не изменяется. Поэтому
при достаточно малых АЕ всегда выполняется
228
неравенство
No" N.
(5.10)
Таким образом, траектория с энергией Е + ДЕ может стать статистически
независимой от траектории с энергией Е, если частица (например, в
биллиарде) испытывает ~N_0 столкновений, которое очень велико по
сравнению с числом N, соответствующим максимуму функции распределения
P(N) числа столкновений на одном цикле. Это означает также, что цикл с
числом столкновений ~TV0 принадлежит нетипичным циклам, т. е.
маловероятным флуктуациям. Поэтому можно записать для вероятности такой
очень редкой флуктуации:
Поскольку появление >N" столкновений на цикле с энергией E + S.E означает
возможность удовлетворить неравенству (5.5) с конечной вероятностью, то
для вероятности расстояния ДЕ между соседними уровнями можно записать
P(E\bE)(tm)P(N0),
пли, согласно (5.11),
Р(?|Д?) <"ехр (- const -No).
Подстановка в это выражение формулы (5.9) дает ответ:
Р(Я|Д?) iA?|c""/,D* - |ДЯ|С0Пв*/\ (5.12)
Величина const в формуле (5.12) может зависеть от Е. Для ее вычисления
необходимы не только более строгие методы, но и большая детализация
модели. Для скользящих электронов, например, получено [73]: const ~ 1/2.
Формула (5.12) имеет простую физическую интерпретацию. С ростом К (т. е.
с ростом энтропии Колмогорова К) показатель степени в (5.12) уменьшается
и расталкивание уровней становится слабее. При (А-*-">) вероятность
Р(Е\ЬЕ) перестает
зависеть от ДЕ и расталкивание уровней исчезает. Это связано с тем, что
чем больше К, тем быстрее происходит стохастизация траекторий, т. е. тем
сильнее локальная неустойчивость и корреляция между собственными
значениями ослабевает. В пределе, когда время стохастизации траекторий
стремится к нулю (К °°), корреляция уровней исчезает. Такая система
становится очень "рыхлой". В ней разрушены какие-либо свойства симметрии,
и именно с этим связано исчезновение корреляций любого типа.
Распределение расстояний между уровнями, определяемое формулой (5.12),
получено для области
Хотя закон расталкивания уровней является степенным, так же как и в
теории Вигнера - Портера - Дайсона, однако имеется серьезное различие
между формулами (1.17) и (5.12). Показатель
P(No) ~ ехр (- const • N0).
