Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
траекторий с периодом Т равно [177-179]
п{Т) ~ ехр(йТ'). (3.4)
Результат (3.4) легко понять из следующих соображений. Рассмотрим
периодическую траекторию ^-системы и выделим на ней некоторую точку А.
Эта траектория тем ближе к случайной кривой, чем больше ее период Т (рис.
12.2, а). Пусть теперь из точки А', очень близкой к А, выходит
траектория, которая возвращается очень близко к А', но не замыкается
(рис. 12.2, б). Тогда малым шевелением начального условия траекторию
можно замкнуть вследствие локальной неустойчивости. Более того,
вследствие перемешивания в любой области фазового объема имеются
траектории, которые достаточно быстро попадают в окрестность точки А.
Поэтому малые шевеления этих траекторий могут превратить их в
периодические. Отсюда следует, что число периодических траекторий с
периодом а) 5) т должно быть пропор-
Рис. 12.2. Примеры замкнутой (а) и близкой ционально объему об-к
замкнутой (б) траекторий в Я-системах. ласти, огибающей фазовый объем,
который занимает система в момент времени Т. Но этот огибающий объем
растет, как известно, следующим образом:
ДГ(Л ~ ДГ"ехр(йЯ.
Отсюда н вытекает формула (3.4).
Для У-систем Аносова был получен более сильный результат [178]:
Множество периодических траекторий является всюду плотным. Однако
распределение траекторий по периодам неизвестно, так как для этого
необходимо знать не только их число п(Т), но и долю фазового объема (хотя
бы "огрубленного"), которую они занимают. Решение задачи о распределении
замкнутых орбит было дано Боуэном [211].
Рассмотрим область фазового объема ДГ < Г и все периодические траектории,
проходящие через нее. Тогда их распределение по периодам не зависит от
расположения ДГ и слабо зависит от формы границы ДГ. Это утверждение
является следствием однородности /f-систем.
Пусть теперь Сдг есть замкнутая орбита С, проходящая через область ДГ, а
х(СьГ) - координата на этой орбите. Различные замкнутые орбиты Слт можно
классифицировать по их периоду Т: Сдг(Г). Тогда результат Боуэна [211]
заключается в следующем:
Здесь g(x)-произвольная интегрируемая функция х; р(а:) - стационарная
функция распределения в фазовом пространстве; р0(ДГ, Т)ДГ - число
периодических орбит с периодом в интервале (Т, Т + АТ) н АТ = (й77йГ)ДГ;
рс(я) - функция распределения по координате х, принадлежащей замкнутой
орбите С&т(Т).
Нетрудно видеть, что приведенный замечательный результат Боуэна (3.6)
является аналогом эргодической теоремы для замкнутых орбит п, по
существу, снимает трудности, связанные с усреднением различных
функционалов по замкнутым орбитам. Нормировочный множитель р0 в (3.6)
определяется следующим образом:
Для получения более качественного представления о равенстве (3.6)
заметим, что множество замкнутых орбит с периодом Т включает в себя также
и такие орбиты, которые возвращаются в ДГ дважды (с периодами Г, и Тг,
причем Tt + T2 = Т), трижды (с периодами Ти Тг, Тг, причем 7\ + Тг + Т3 =
Т) п т. д. При больших значениях Т замкнутая орбита покроет достаточно
плотно и достаточно равномерно все фазовое пространство. Поэтому
усреднение по замкнутым орбитам С е Сдг(Г) с большим периодом Т
становится эквивалентным усреднению по фазовому пространству с
соответствующей мерой р(а;) dx. Это замечание позволяет нам сделать
следующий шаг по пути упрощения формулы (3.6). Любая непериодическая
траектория, выходящая из ДГ, возвращается в нее бесконечное число раз.
Часть траектории между двумя последовательными прохождениями области
221
АГ назовем приближенным циклом (контуры Си С2, ... на рис. 12.3). Эти
контуры С* должны мало отличаться от периодических контуров, так как
малое шевеление превращает незамкнутые
контуры С* в замкнутые. Поэтому равенство (3.6) имеет также следующую
модификацию для достаточно больших Т:
2 = 2 (3.7)
седг седг
где СеДГ обозначает периодические орбиты, пересекающие область АГ, т. е.
Сдг> а С е ДГ - приближенно замкнутые циклы, пересекающие об-Рис. 12.3.
Приближенные циклы в ласть АГ, т. е. Сдг. Если к то-Я-системах. му же
имеет место однород-
ность во всем фазовом пространстве Г, то равенство (3.7) можно записать в
виде
1 у _ _1______ у _ _1_______ у
роГ сег РоАГ сЙг РоДГ '
седг
(3.8)
РоДГ С€ДГ ' Р°ДГ седг
Все суммы в выражениях (3.7), (3.8) следует понимать в некотором
определенном смысле, так как число периодических траекторий бесконечно и
р0 поэтому должно стремиться к бесконечности. Можно, однако, поступить
следующим образом. Введем в суммы обрезание для всех периодов С или
приближенных циклов С с длиной больше L. Тогда суммирование в выражениях
(3.7), (3.8) можно рассматривать как предел при L оо, устроенный таким
образом, что выполняются соотношения
lim -¦ * 2 1 = const,
^"P0(L)A1 C<L седг
lim =--- 5 1 = const.
L^P0(L)AT
седг
(3.9)
Условия (3.9) определяют, в частности, нормировку в выражениях
(3.8). Несколько сложнее обстоит дело в реальных гамильтоновых системах,
где существуют два масштаба универсальности. Пусть точке А в фазовом
