Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
принадлежащую области фазового пространства Г, в которой рассматривается
движение системы.
Разложим движение системы на метрически неразложимые эргодические
компоненты:
Г = V ГМ, (2.2)
Г
т. е. траектории, лежащие в области r<r), остаются в ней и только в ней.
В общем случае компонентами Г(г> являются различный островки устойчивости
и области стохастичности (см. § 5.3). Структура выражения (2.1) позволяет
с помощью разбиения (2.2) записать
S(?) = const2 \dq 2 ехр [у Sc(q, g | ?)] =2 ^ (2>3)
r С"=Г(Г) r
Таким образом, полюса функции отклика giE) также обладают свойством
аддитивности: они состоят из полюсов функций g{T,{E), которые
определяются классическими траекториями, принадлежащими г-й метрически
неразложимой эргодической компоненте фазового пространства Г(,). Система
полюсов функции gir){E) порождает последовательность собственных значений
энергии, которую назовем серией.
Таким образом, квазиклассическое квантование сводится в самом общем
случае динамической системы к нахождению всех возможных энергетических
серий, порождаемых эргодическпми компонентами. На энергетической оси этп
серии, вообще говоря не разделяются п сложным образом могут перекрываться
друг с другом.
Наиболее существенным моментом формулы (2.3) является то, что каждую
серпю уровней можно исследовать и описывать независимо от всех остальных
серий. Естественной представляется следующая классификация серий.
Каждой метрически неразложимой области фазового пространства, в которой
движение является устойчивым условнопериодическим, соответствует
энергетический спектр, называемый регулярным. Его квантование подчиняется
правилам Эйнштейна (1.2), поскольку в таких областях существуют Л^-мерные
инвариантные торы.
216
В тех областях, где все (кроме интеграла энергии) или часть однозначных и
независимых интегралов движения разрушены, энергетический спектр, как
будет видно далее, является квази-случайпым. Такие серии уровней будем
называть стохастическими.
Система будет называться тем более "сложной", чем большее число
интегралов движения разрушено.
Например, для системы, фазовый портрет которой изображен на рис. 4.1,
энергетический спектр состоит из трех регулярных серий и одной
стохастической.
В этой главе мы будем исследовать только стохастическую серию уровней
максимально "сложной" системы, поскольку определение регулярной части
спектра принципиально решается формулами (1.2). Исходная постановка
задачи заключается в следующем.
Рассматривается такая квантовая tf-система, у которой разрушены все
интегралы движения, кроме интеграла энергии. Тогда энергетический спектр
является однопараметрпческим (например, уровни энергии нумеруются в
порядке возрастания энергии) и задача состоит в определении распределения
уровней.
Необходимо сделать замечание о том, в какой связи находится статистика
уровней с понятием ансамбля в обычной статистической физике. Система
уровней стохастической части спектра не может быть таким же
представителем ансамбля, как, например, какое-либо состояние системы
многих тел *). Отказ от точного описапия производится не для системы
уровнен, а для реальной физической системы, в которой имеются очень
сложные взаимодействия и энергетический спектр которой надо определить.
Возбужденные молекулы в состоянии, близком к предиссоциации, являются
примером такой системы, и точное определение состояний молекул в этом
случае является столь же бессмысленным, как н определение одновременно
координат большого числа частиц. Энергетический спектр возбужденных
молекул является некоторой более тонкой характеристикой системы, и
вероятностное описание состояний системы автоматически порождает
появление вероятностных свойств в энергетическом спектре. Например, для
биллиардов, являющихся А-системамн, статистический ансамбль могли бы
образовывать такие же биллиарды с небольшим разбросом в их геометрических
характеристиках. Поскольку общий характер траекторий в биллиарде не
зависит от небольших геометрических возмущений, то таким же свойством
должно обладать и распределение уровней (в вероятностном смысле). Поэтому
каждая конкретная геометрия биллиарда может служить представителем
ансамбля, порождающим соответствующую ему реализацию энергетического
спектра. Различные геометрии порождают различные реализации спектра,
которые и образуют статистический ансамбль энергетических уровней.
*) Это обстоятельство отмечалось Дайсоном [174].
217
§ 12.3. Универсальность К-систем и периодические орбиты
Универсальность АГ-систем. Масштабы универсальности. Однородность АТ-
систем. Периодические траектории Я-систем. Аналог эргодической теоремы
для приближенных циклов
Этот параграф будет начат с некоторого возврата к классическим /Г-
системам. Нам понадобятся некоторые их свойства, на которых мы до сих пор
не останавливались, либо обсуждали их слишком кратко. В § 1.6 уже
отмечалось свойство изоморфизма /Г-систем с одинаковыми значениями
энтропии Н, введенное Колмогоровым. Обсудим его детальнее.
