Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(5.11)
ДЕ " <ДЕ\
(5.13)
229
степени в (5.12) а = constJh(E)
(5.14)
определяется динамической характеристикой системы: /С-энтро-* пией.
Однако величина а в формуле (1.17) является постоянной для любых систем
(с одним и тем же типом симметрии). Удобно, кроме величины а, ввести еще
один критический показатель
В теории Вигнера - Портера - Дайсона ^ = 0, 1, 3^0 для ансамблей
соответственно с а = 1, 2, 4. Однако из (5.15) следует, что 0 уменьшается
с ростом h, и, начиная с некоторого значения энергии, может оказаться,
что §<0. Тогда при §<0 и I A?l 0 величина Р' в то время как в теории
Вигнера - Портера - Дайсона всегда Р' -*¦ const ^ 0, так как 0 ^ 0.
Рассмотрим теперь асимптотику распределения расстояний АЕ между соседними
уровнями Р(Е\АЕ) в случае больших АЕ [73, 138], когда выполняется
неравенство
противоположное неравенству (5.13). Пусть, как и ранее, N есть число
шагов отображения для типичного цикла, a - число шагов отображения, при
котором траектория с энергией Е и траектория с энергией Е+ АЕ становятся
статистически независимыми. Величина N" определена формулой (5.9), если
только АЕ достаточно мало. Однако, если АЕ велико, то A'0 ~ 1. Очевидно,
что условие (5.16) приводит к неравенству, противоположному (5.10):
Условие (5.17) означает, что типичные циклы, соответствующие энергиям Е и
Е + АЕ, фактически являются статистически независимыми.
Пусть L - характерный период цикла, a S = S(L, Е)-действие на цикле.
Поскольку траектория цикла состоит из большого числа отображений, то
распределение вероятности величины 5 подчиняется гауссовскому закону:
где P(E\S) - вероятность того, что цикл с периодом L и энергией Е имеет
действие, лежащее в интервале значений (5, S + AS); AS - изменение
действия на одном шаге отображения; г - длина траектории на одном шаге
отображения.
для той же области (5.13). Здесь Р = а - 1 = const/h(E) - 1.
(5.15)
ДЕ" <ДЕ>,
(5.16)
N>N0.
(5.17)
(5.18)
230
Так как траектория цикла с энергией Е + АЕ согласно неравенству (5.17)
статистически независима от траектории с энергией Е, то для нее можно
записать выражение, аналогичное (5.18):
1-1/2
Р(Е + АЕ | S') = ]^-L
xexp
x
Е+ДЕ
(S' - ^)г
2L "Л5)2/г>?+дв
dS'. (5.19)
Вероятность того, что разность S' - S принимает заданное значение
S' - S = 2я %т независимо от значения S, равна
ОО
Р(Е\Е + АЕ\т)= f dSP(E\S)P(E + AE\S + 2пПт) =
О
= Ш1/2ехр/_АГ/М\ _/М\ ______________2яЯт12|
[ЬФ/ ехР( 2в[\г/?+Л? \ г /Е L ]}'
где
n_ 1 Г/(Л5)2\ , /(Д5)2\ 1
° ~ т [\~+
Для двух соседних уровней можно считать т ~ 1, а при больших АЕ
выполняется неравенство
|/Д?\ _/??\
I \ г /Е+ДЕ \ г /Е
¦2j?, (5.21)
так как изменение энергии Е на большую величину АЕ приводит к большому
изменению величины AS.
Используя неравенство (5.21) в выражении (5.20), получаем искомое
распределение расстояний между уровнями:
Р (Е | АЕ) " Р (Е | Е + АЕ 10) =
= {ш) ехР {~ W [\^ГХ+ДЕ " X]}* (5,22)
Выражение (5.22) может быть упрощено, если АЕ не слишком велико и
допустимо разложение величины <ДS/r> в ряд по АЕ. Тогда
Р (?! М)~ (^),,! ехр {- &V (^)'}, (5.23)
231
Таким образом, асимптотика распределения расстояний между соседними
уровнями Р{Е\АЕ) при больших ДЕ имеет гауссовский вид, однако, в отличие
от формулы (1.16), здесь параметры распределения также определяются
динамическими характеристиками системы.
Приведем некоторые данные численного анализа. Если рассмотреть биллиард
типа "стадион" (см. рис. Д1.1,а), то движение
Рис. 12.4. Гистограмма распределения расстояний между уровнями по
численным данным работы [183]: а) для границы в форме круга; б) для
границы в форме "стадиона".
частицы в нем обладает свойством перемешивания. Поэтому соответствующее
квантование такого движения должно приводить к полученному выше закону
распределения расстояний между уровнями. Это обстоятельство было
проверено в работе [183]. Соответствующие результаты приведены на рис.
12.4, б. Из них видно расталкивание при ДЕ 0. Для контроля на рис. 12.4,
а приведено распределение расстояний между соседними собственными
значениями для круга. В этом случае теоретический анализ распределения
собственных значений (корней функций Бесселя) приводит к распределению
пуассоновского типа. Аналогичные результаты получены также в работе [184]
(ком. 6).
§ 12.6. Некоторые общие замечания
о квантовых К -системах
О распределении собственных значений. "Можно ли услышать форму
барабана?" Волновые функции и "квазимоды". Понятие о "среднем поле"
Задача о распределении энергетических уровней в квантовых Я-системах
является в действительности частью более общей проблемы асимптотики
распределения собственных значений. Остановимся на одной простой
иллюстрации этой проблемы.
232
Рассмотрим следующую граничную задачу:
Длф + [А, + v(.Xi, ж,|)](р = 0, <р|? =0, (6.1)
где Ad - оператор Лапласа в d-мерном пространстве (xit..., xd); & -
гиперповерхность в d-мерном пространстве, А, - собственные значения,
подлежащие определению.
